(优辅资源)广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题 Word版含答案

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所以分

1x1x2??2, 即x1x2??8. …………………………………………44 又y1y2?121212x1?x2??x1x2??4, …………………………………………5分 4416 所以x1x2?y1y2??4为定值. …………………………………………6分

(Ⅱ) 法1：直线PA的垂直平分线方程为y?分

由于y1?y1?2x?a?2????x?1……………7?2x1?2?,

122x1,x1?8?2ax1, 4ax1x?a?2????x?1……………8分 ?4x1?2?. ① ax2x?a?2????x?2……………9分 ?4x2?2?. ②

所以直线PA的垂直平分线方程为y? 同理直线PB的垂直平分线方程为y?a23 由①②解得x?a, y?1?,

22?3a2??. ……………………………………………………10分 所以点M?a,1?22???3a2??,PF???a,3?. 抛物线C的焦点为F?0,1?, 则MF???a,?2??23a23a2??0，……………………………………………………11分 由于MF?PF?22 所以MF?PF.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分

?3?a2??另法: 以PM为直径的圆的方程为?x?a??x?a???y?2??y?1???0. ……11分

2?2???把点F?0,1?代入上方程,知点F的坐标是方程的解.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 法2：设点M的坐标为?m,n?，

则△PAB的外接圆方程为?x?m???y?n???m?a???n?2?，

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由于点A?x1,y1?,B?x2,y2?在该圆上， 则?x1?m???y1?n???m?a???n?2?， ?x2?m???y2?n???m?a???n?2?.

两式相减得?x1?x2??x1?x2?2m???y1?y2??y1?y2?2n??0, ① …………7分 由(Ⅰ)知x1?x2?2a,x1x2??8,y1?222222221212,代入上式得 x1,y2?x244 ?x1?x2?4a?4m?a3?4a?2an?0, ……………………………………8分 当x1?x2时, 得8a?4m?a3?2an?0, ②

假设以PM为直径的圆恒过点F,则MF?PF,即??m,n?1???a,?3??0, 得ma?3?n?1??0, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得m?所以点M???31a,n?1?a2, …………………………………………………10分 221??3a,1?a2?. ……………………………………………………11分

2??2当x1?x2时, 则a?0,点M?0,1?.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 （21）解:

(Ⅰ)法1: 函数f?x??lnx?a的定义域为?0,???. xa1ax?a由f?x??lnx?, 得f??x???2?2. ……………………………………1

xxxx分

因为a?0,则x??0,a?时,f??x??0;x??a,???时,f??x??0.

所以函数f?x?在?0,a?上单调递减, 在?a,???上单调递增. ………………………2分

当x?a时,??f?x???min?lna?1. …………………………………………………3

分

当lna?1?0, 即0?a?分

1时, 又f?1??ln1?a?a?0, 则函数f?x?有零点. …4e试 卷

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所以实数a的取值范围为?0,?. ……………………………………………………5分

e??1??法2：函数f?x??lnx?由f?x??lnx?分

a的定义域为?0,???. xa?0, 得a??xlnx. …………………………………………………1x令g?x???xlnx，则g??x????lnx?1?.

当x??0,?时, g??x??0; 当x??,???时, g??x??0.

??1?e??1?e??所以函数g?x?在?0,?上单调递增, 在?,???上单调递减. ……………………2分

??1?e??1?e??故x?分

1111?1?时, 函数g?x?取得最大值g????ln?. …………………………3

eeee?e?因而函数f?x??lnx?分

1a有零点, 则0?a?. ………………………………………4

ex所以实数a的取值范围为?0,?. …………………………………………………5分

e??1?? (Ⅱ) 令h?x??xlnx?a, 则h??x??lnx?1. 当0?x?11时,f??x??0;当x?时,f??x??0. ee

??1?e??1?e?? 所以函数h?x?在?0,?上单调递减, 在?,???上单调递增. 当x?分

于是,当a?分

令??x??xe?x, 则???x??e?x?xe?x?e?x?1?x?.

11时, ?hx???a. ………………………………………6?????minee211时, h?x????a?.① ………………………………………7eee

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当0?x?1时,f??x??0;当x?1时,f??x??0.

所以函数??x?在?0,1?上单调递增, 在?1,???上单调递减. 当x?1时, ????x???分

于是, 当x?0时, ??x??.分

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当x?0,a?分

因为b?1,所以lnb?0.

所以lnb?ln?lnb??a?lnb?e?lnb. …………………………………………11分 所以ln?lnb??分 （22）解： (Ⅰ) 由?分

所以直线l的普通方程为x?y?4?0. ………………………………………2分 由??22cos???max?1. ……………………………………………………………8e1② ………………………………………………9e

2时, xlnx?a?xe?x. ……………………………………………10ea11?, 即f?lnb??. ………………………………………12lnbbb?x?3?t,消去t得x?y?4?0, ………………………………………1

?y?1?t,

????????……3分?22cos?cos?sin?sin????2cos??2sin?,

4?44??

得?2?2?cos??2?sin?. ………………………………………4分 将?2?x2?y2,?cos??x,?sin??y代入上式,

得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y, 即?x?1???y?1??2. ………5分

(Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为P1?2cos?,1?2sin?, ………………………………6分

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