1质点运动学习题思考题

面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x有：

x?v0t┄①，h?12gt┄② 2x?77.50。 h联立方程解得：x?447m，∴??arctan

???1-12．设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；

?试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。 vB与水平面的夹角为?，

证明：两个物体初速度为vA0和vB0，在任意时刻的速度为：

??? vA(t)?vA0cos?i?(vA0sin??gt)j

??? vB(t)?vB0cos?i?(vB0sin??gt)j

??????vBA?vB(t)?vA(t)?(vB0cos??vA0cos?)i?(vB0sin??vA0sin?)j

与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：取g=9.8m/s2。

物体在任意时刻的速度表达式为：vy?v0?gt

故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v

代入时间t可以得到第二秒末物体速度：?v2?9.8m，（向上）

s第三秒末物体速度：?v3?0

第四秒末物体速度：?v4??9.8m（向下）。

s

1-14．质点沿x轴正向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t)。

解： 由于是一维运动，所以，由题意：

分离变量并积分有：

vdv??kv， dtt1?ktdv??kdt ，得： v?ve0?v0v?05

xtdx?kt?ve 又∵ ， 积分有：?dx??v0e?ktdt 000dtv?kt ∴ x?0(1?e)

k

1-15．跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度

a??kv2，k?0.4m?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。 解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。

跳水运动员入水时的速度：v0?2gh?14m，

sv入水后速度减为入水速度的10%时：vt?0?1.4m，

s10dvdvdvdvdv??kv2，考虑到?v，有：?kv2??v 列式：dtdtdxdtdxv0x1110dv?x?ln10?5.76m ，?kdx?v0v?0k

1-16．一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：看成一维运动，直接利用公式：v?1bdxdv，a?有： dtdtdxdvub??uln(1?bt) ， （2）a??（1）v? dtdt1?bt

1-17. 质点的运动方程为：x?Rcos?t，y?Rsin?t，z?（3）质点的加速度大小。

h?t，式中2?R、h、?为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；

h?t，这是一条空间螺旋线。 2?空间螺旋线在Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为h。

222解：（1）轨道方程为：x?y?R，z? 6

（2）vx?2xdxdydzh??R?sin?t ，vy??R?cos?t，vz???， dtdtdt2?2y2z2h2∴v?v?v?v??R?； 24?（3）ax??R?2cos?t ay??R?2sin?t az?0

∴ a?22ax?ay?R?2

思考题1

1-1．点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?

（1）v?v,v?v；（2）v?v,v?v；（3）v?v,v?v；（4）v?v,v?v 答：（3）

1-2．质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？

答：匀速直线运动；va?vb?vc。

1-3．结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答：平均加速度表示速度在?t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度变化的快慢程度，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化。

1-4．运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？

答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小，但速度仍在增加。

1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相距最近的距离．图中?和?为已知。 答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v??vB?vA。

v?是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v?方向的直线BC,它不与船A相交,

这表明两船不会相碰.

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由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin?Rsin? 作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：sin??在三角形BEF中,由余弦定理可得：v??vBsin??vAsin?，

v?22vA?vB?2vAvBcos(???)

rmin?vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR。

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA?(vAtcos?)i?(vAtsin?)j

rB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)j

r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j

任一时刻两船的距离为：

r?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2

dr(t)?0 令：dtvBcos??vAcos?t?R 22(vBcos??vAcos?)?(vBsin??vAsin?)vBsin??vAsin?rmin?R。

22vA?vB?2vAvBcos(???)

??dvdr??1-6．质点在一平面内运动，其位置矢量为r，速度为v，试说明、、、

dtdtdt?dv的物理意义，并指出它们分别为零时，除了表示静止外，还可表示质点作何dt运动？ 解：

?dr?drdt中的r为位置矢量的模（一般可用r表示），它表示质点离原点的距离，

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?drdt表示质点离原点的距离随时间的变化率，即径向速度vr.它为零表示质点与

原点的距离r不变，表示质点的运动轨迹为圆。即当r?0时，质点作圆周运动.

??dvdr?表示质点的速率v，它为零表示r为恒量，所以只能表示质点静止. 表

dtdt?dv示质点的速率v的变化率，即切向加速度at，它为零表示质点作匀速率运动。dt?表示加速度的大小，它为零表示速度v为恒量，除了表示质点静止外，还表示质

点作匀速直线运动。

1-7．一质点在平面直角坐标系内运动,在位置(x,y)处的速度v?vxi?vyj，

??????加速度a?axi?ayj（其中vx,vy,ax,ay为已知）。求该质点在(x,y)处

的切向加速度和法向加速度。 解：v?vx?vy?at?ax222vvx?ayy vva2?at2?an2?ax2?ay2?an?axvy?ayvxv

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