2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学业分层测评苏教版

2.3.2 空间两点间的距离

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________． 【解析】 设P(0,0，c)， 由题意得

－

2

－＋

－

2

＋

2

＋＋c－

2

＋c－

2

2

＝

，

解得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)． 【答案】 (0,0,3)

2．已知平行四边形ABCD，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为__________．

【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中7x＋2－5＋y1＋z?7?点M?，4，－1?.设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z2222?2?＝－3，

∴D(5,13，－3)． 【答案】 (5,13，－3)

3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2－3－13所示，则BC边上的中线的长是________．

图2－3－13

【解析】 BC的中点坐标为(1,1,0)． 又A(0,0,1)， ∴AM＝1＋1＋－【答案】

3

2

2

2

＝3.

4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则AB＝________. 【解析】 点B的坐标为B(2，－3，－5)， ∴AB＝－

2＋－3＋

2＋＋

2＝10.

【答案】 10

5．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．

x＋y＝1，??22

【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知?y＋z＝1，

??x2＋z2＝1，

3222

∴x＋y＋z＝，

2∴x＋y＋z＝【答案】

6 2

22222

6. 2

6.在如图2－3－14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2)，E，

F分别为BC，A′B′的中点，则EF的长为________．

图2－3－14

【解析】 由C′(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E(4,2,0)，F(2,0,2)，

∴EF＝－

2

＋－

2

＋－

2

＝23.

【答案】 23

7．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小，则

M点坐标为________.

【导学号：41292123】

【解析】 设M点坐标为(x,1－x,0)， 则MN＝＝

x－x－

22

＋－x－

2

＋－

2

＋51≥51(当x＝1时，取“＝”)，

∴M(1,0,0)． 【答案】 (1,0,0)

8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是__________．

【解析】 设正方体的棱长为a， 则3a＝AB＝4＋－

2

2

＋4＝43，

2

所以a＝4，V＝4＝64. 【答案】 64 二、解答题

9．如图2－3－15，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为

3

E，求B1E的长．

图2－3－15

【解】 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)， 在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1，

24即2x＋y－4＝0，DE⊥AC， 直线DE的方程为x－2y＝0.

xy??2x＋y－4＝0，由?

?x－2y＝0，?

8

x＝，??5得?4

y＝??5，

?84?∴E?，，0?.

?55?

∴B1E＝

610

即B1E的长为.

5

10．如图2－3－16(1)，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图2－3－16(2)所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy平面内，试求A，C两点的坐标.

【导学号：41292124】

＝610

， 5

图2－3－16

【解】 由题意知，在直角坐标系D－xyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy平面、yDz平面内．

在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影． 12922

在Rt△ABD中，由AD＝3，AB＝4，得AE＝，从而ED＝AD－AE＝.

55

?129?∴A?，，0?，

?55?

同理，在yDz平面内过点C作CF垂直y轴于点F，则点F为点C在y轴上的射影，CF1216＝，DF＝， 55

?1612?∴C?0，，?.

55??

[能力提升]

1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图2－3－17所示的空间直角坐标系．

图2－3－17

(1)点D，N，M的坐标为________，________，________. (2)MD＝________，MN＝________.

【解析】 (1)因为D是原点，则D(0,0,0)． 由AB＝BC＝2，D1D＝3，