2012年高考数学试卷及解析上海卷（理科）

2012年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷（理）

一、填空题（56分）： 1．计算：

3?i1?i。 ? （i为虚数单位）

2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x||x?1|?2}，则A?B? 。

2　　　cosxsinx　　?13．函数f(x)?的值域是 。

4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。 5．在(x?2x)的二项展开式中，常数项等于 。

1266．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为

V1，V2，?，Vn，?，则lim(V1?V2???Vn)? 。

n??7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）。若f(x)在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是 。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 。 9．已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? 。 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角??程写成??f(?)的形式，则f(?)? 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。 12．在平行四边形ABCD中，?A??32?6，若将l的极坐标方

，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别

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是边BC、CD上的点，且满足|BM||BC|?|CN||CD|，则AM?AN的取值范围是 。

113．已知函数y?f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)，

2函数y?xf(x)（0?x?1）的图象与x轴围成的图形的面积为 。

二、选择题（20分）： 15．若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则（ ）

[来2A．b?2,c?3 B．b??2,c?3 C．b??2,c??1 D．b?2,c??1 16．在?ABC中，若sin2A?sin2B?sin2C，则?ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

4517．设10?x1?x2?x3?x4?10，x5?10，随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量?2取值

x1?x22x?x3x3?x4x4?x5x5?x1、2、、、的概率也均为

22220.2，若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则（ ）

A．D?1?D?2 B．D?1?D?2

C．D?1?D?2 D．D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 18．设an?1nsinn?25，Sn?a1?a2???an，在S1,S2,?,S100中，正数的个数是（ ）

A．25 B．50 C．75 D．100 三、解答题（74分）：

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19．（6+6=12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?底面ABCD，

E是PC的中点，已知AB?2，AD?22，PA?2，求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。

20．（6+8=14分）已知函数f(x)?lg(x?1)． （1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数y?g(x)（x?[1,2]）的反函数。

21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y?1249x；②定

2位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为

7t．

（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x?y?1． （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证：OP?OQ；

22（3）设椭圆C2：4x?y?1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM?ON，

2222求证：O到直线MN的距离是定值。

?，xn}，其中0?x1?x2???xn，23．（4+6+8=18分）对于数集X?{?1，x1，x2，n?2，定义向量集Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}，若对任意a1?Y，存在a2?Y，使

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得a1?a2?0，则称X具有性质P．例如{?1,1,2}具有性质P． （1）若x?2，且{?1,1,2,x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn?1时，x1?1；

（3）若X具有性质P，且x1?1、x2?q（q为常数），求有穷数列x1，x2，?，xn的通

项公式。

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