高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编含答案

新数学高考《空间向量与立体几何》专题解析

一、选择题

1．如下图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则

sin?的最大值为（ ）．

A．

2 2B．25 5C．26 5D．26 6【答案】B 【解析】 【分析】

连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到A1M与平面A1B1C1D1所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】

连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱A1B1EHA?D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N,则?MA1N即为

A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以?MA1N=α，因为sinα=

MN,要使α的正弦最大，A1M必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为

MNHN25==, A1MA1H5故选B

【点睛】

本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.

2．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）

A．

34 17B．

234 17C．517 17D．

317 17【答案】D 【解析】 【分析】

首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在?PCD中利用余弦定理求出cos?DPC进而求出CE，再在?GFH中利用余弦定理即可得解. 【详解】

如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，

则EF//CH，EF?CH，从而四边形EFHC是平行四边形，则EC//FH， 且EC?FH.

因为F是PA的中点，G是AB的中点，

所以FG为?ABP的中位线，所以FG//PB，则?GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得FG?3，HG?1AC?22. 2PD2?PC2?CD236?36?167在?PCD中，由余弦定理可得cos?DPC???，

2PD?PC2?6?69则CE2?PC2?PE2?2PC?PEcos?DPC?17，即CE?17.

FG2?FH2?GH29?17?8317. 在?GFH中，由余弦定理可得cos?GFH???2FG?FH172?3?17故选：D 【点睛】

本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.

3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A．

213 B．

3 C．

12 D．

34 【答案】B 【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于

1?1?1213=3， 选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

4．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l 【答案】D 【解析】 【分析】

A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】

A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；

C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】

本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.

B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β

5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=

1．则下列结论中正确的个数为 2