(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案

即(OP)max＝203＋20.

同理，连接OQ，在△OBQ中，(OQ)max＝203＋20.

因为203＋20<60，所以观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米． 故对于任意的α，上述设计方案均能符合要求．

3．(2020·无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2020年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2020年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而

20

x?1?33

从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为?3－x?万元．(参考数据：1.1＝1.331，1.15

?4?

≈1.521，1.2＝1.728)

(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万)，则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？

(2)至2020年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售工作的户数；若不能，请说明理由．

3

x??解：(1)由题意得1×?1＋?≥1.6，∵5x＜100－5x，

?20?

∴x∈Z，1≤x＜10.

3

x??函数y＝?1＋?在x∈[1，9]上单调递增， ?20?

由数据知，1.15≈1.521<1.6，1.2＝1.728>1.6， 所以≥0.2，得x≥4，则5x≥20.

20答：至少抽出20户从事包装、销售工作．

(2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式

1100

3

3

3

x?5x?3－1x?＋?1＋x?（100－5x）?≥1.35有正整数解， ??4??20????????

化简整理得3x－30x＋70≤0，

2

所以－

1515≤x－5≤. 33

因为3<15<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6.

答：至2020年底，该村每户年均纯收入能达到1.35万元，此时从事包装、销售工作的农户数为20户，25户或30户．

4．(2020·苏州期末)如图，长途车站P与地铁站O的直线距离为5 千米，从地铁站Oπ

出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为，OP与l1的夹角θ4π?1?满足tan θ＝?其中0<θ

2?2?交于点A，B，并分别在A，B处设立公共自行车停放点．

(1)已知修建道路PA，PB的价格分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；

(2)考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修价格分别为n元/千米和22n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置．

解：(1)以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系， π1

因为0<θ<，tan θ＝，

221

所以直线OP的方程为y＝x，

2

设P(2t，t)，由OP＝5，得t＝1，所以P(2，1)．

法一：由题意得2m·PA＝m·PB，所以PB＝2PA，所以B点的纵坐标为3， 又点B在直线y＝x上，所以B(3，3)， 335

所以AB＝PB＝. 22

―→―→

法二：由题意得2m·PA＝m·PB，所以BP＝2PA.

设A(a，0)(a>0)，又点B在射线y＝x(x>0) 上，所以可设B(b，b)(b>0)， 3???a＝，?2－b＝2（a－2），―→―→

由BP＝2PA，得?所以?2

?1－b＝－2，???b＝3，

?3?所以A?，0?，B(3，3)，AB＝?2??3－3?＋32＝35. ?2?2??

2

35

答：A，B之间的距离为千米．

2

(2)法一：设两段道路的翻修总价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，需y最小． 当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA＝2，OB＝22， 所以y＝OA＋22OB＝2＋8＝10.

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0且k≠1)． 11

令y＝0，得点A的横坐标为2－，所以OA＝2－，

kk令x＝y，得点B的横坐标为

2k－1

， k－1

12k－1

因为2－>0且>0，所以k<0或k>1，

kk－114（2k－1）

此时y＝OA＋22OB＝2－＋，

kk－1

y′＝2＋＝k（k－1）2

1－4

－（k＋1）（3k－1）

，

k2（k－1）2

当k<0时，y在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，

?33?所以ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时A(3，0)，B?，?； ?22?

18（k－1）＋4413k＋1

当k>1时，y＝2－＋＝10＋－＝10＋>10. kk－1k－1kk（k－1）

32

综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点2千米处．

法二：如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交

OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1，又∠BOQ＝，所以QM＝1，OM＝

2，所以PM＝1，PN＝OM＝2， 由PM∥OA，PN∥OB，得所以

2

2

π4

OB＝，

PA1PB＝，

ABOAABOB＋PAPB＝1，

OAABAB1＝＋

设两段道路的翻修总价为S，则S＝n·OA＋22n·OB＝(OA＋22OB)·n， 设y＝OA＋22OB，要使S最小，需y最小．

y＝OA＋22OB＝(OA＋22OB)?

?21??OA2OB?

＋?＝5＋2?OB＋OA?≥9，

???OBOA?

32

当且仅当OA＝2OB时取等号，此时OA＝3，OB＝. 2

32

答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点 千

2米处．