(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案

2025 600

∴当m＝时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米．

3273．(2020·苏锡常镇二模)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积； (2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

解：设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线长为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，

则V＝36π.

12

(1)由r＝6，V＝πrh＝36π，得h＝3，

3所以S＝πrl＝πrr＋h＝6π6＋3＝185π. 易知该容器的底面积为πr＝36π(平方米)，

所以该容器的表面积为185π＋36π＝18(2＋5)π(平方米)． 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．

13×36π10822

(2)因为V＝πrh＝36π，所以r＝＝，其中h>0.

3πhh则S＝πrl＝πrr＋h＝πr＋rh＝π 108

108

2＋h，

2

2

4

22

2

2

2

2

2

108

2h2

1082

＋h＝π

108

2hh2

＋108h＝π

h108216h－216

记f(h)＝2＋h(h>0)，则f′(h)＝－3＋1＝，令f′(h)＝0，得h＝6. 33

hhh当h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减； 当h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增． 所以，当h＝6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为183π. 答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．

4．(2020·南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45°角的直路l1，l2，交点是O，P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为2 km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路

l1，l2交于点A，B.

(1)当AB的中点为P时，求直路AB的长度； (2)求△AOB面积的最小值．

解：以直路l1所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

因为直路l1，l2相交成45°角，所以直路l2所在直线的方程为x－y＝0.

因为P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为2 km，所以可设P(x0，1)(x0>1)， 所以

x0－1

2

＝2，解得x0＝3，所以P(3，1)．

(1)法一：设B(a，a)，因为P(3，1)是AB的中点，所以A(6－a，2－a)． 由于A在x轴上，所以2－a＝0，即a＝2.

所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝（4－2）＋（0－2）＝22. 所以直路AB的长度为22 km.

法二：当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，舍去．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，由题意知k>1或k<0，则直线AB的方

2

2

?1?程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，所以A?3－，0?.

?

k?

联立，得?

??y＝x，

?3k－1，3k－1?.

可得B??

?k－1k－1???kx－y－3k＋1＝0，

3k－1

＝2，解得k＝－1， k－1

2

2

由P(3，1)是AB的中点，得

所以A(4，0)，B(2，2)，AB＝（4－2）＋（0－2）＝22. 所以直路AB的长度为22 km. (2)设B(a，a)(a>1)，

92

当a＝3时，A(3，0)，所以△AOB的面积为 km.

2当a>1且a≠3时，设直线AB的方程为y－1＝

a－12a(x－3)．令y＝0，得x＝，即a－3a－1

A?

?2a，0?，

?

?a－1?

12a1

所以S△AOB＝××a＝(a－1)＋＋2≥2 2a－1a－1

（a－1）×

1

＋2＝4，当且仅当aa－1

－1＝1

，即a＝2时取等号． a－1

92又>4，所以△AOB面积的最小值为4 km. 2

B组——大题增分练

1．(2020·扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，

??BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈?，π?.

?

(1)当cos θ＝－5

时，求小路AC的长度； 5

π?2

(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路BD的长度．

解：(1)在△ABD中，由BD＝AB＋AD－2AB·ADcos θ，得BD＝14－65cos θ， 又cos θ＝－

5

，∴BD＝25. 5

5?22?

1－?－?＝. ?5?5

2

2

2

2

?π?2

∵θ∈?，π?，∴sin θ＝1－cosθ＝?2?

在△ABD中，由

AB2533

＝，得＝，解得sin∠ADB＝. sin∠BADsin∠ADB2sin∠ADB5

5

BD∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形， π

∴∠CDB＝且CD＝BD＝25，

2

π?3?∴cos∠ADC＝cos?∠ADB＋?＝－sin∠ADB＝－. 2?5?

?3?22222

在△ACD中，AC＝AD＋DC－2AD·DCcos∠ADC＝(5)＋(25)－2×5×25×?－??5?

＝37，

得AC＝37， 所以当cos θ＝－2

5

时，小路AC的长度为37 百米． 5

(2)由(1)得BD＝14－65cos θ，

S四边形ABCD11352

＝S△ABD＋S△BCD＝×3×5×sin θ＋×BD＝7＋sin θ－35cos θ＝7＋

222

351521

(sin θ－2cos θ)＝7＋sin(θ－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝， 2255

?π?且φ∈?0，?.

2??

ππ1

当θ－φ＝，即θ＝φ＋时，四边形ABCD的面积最大，此时sin θ＝，cos θ225

2＝－，

5

?2?2

∴BD＝14－65cos θ＝14－65×?－?＝26，

5??

∴BD＝26，

∴当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为26百米． 2．(2020·南京盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，︵

在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB(劣弧AB所对的扇形)所在的

区域，其中点A，B均在圆O上，观众席为梯形ABQP以内、圆O以外的区域，其中AP＝AB＝

BQ，∠PAB＝∠QBA＝

2π

，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内的每一3

?π?位观众到舞台O处的距离都不超过60米(即要求PO≤60)．设∠OAB＝α，α∈?0，?.问：

3??

对于任意的α，上述设计方案是否均能符合要求？

解：过点O作OH垂直于AB，垂足为H. 在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α， 所以AB＝AP＝BQ＝40cos α.

由题图可知，观众席内点P，Q处的观众离点O处最远． 连接OP，在△OAP中，由余弦定理可知，

OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos?α＋?

?

2π?

3??

3?1?2

＝400＋(40cos α)－2×20×40cos α·?－cos α－sin α?

2?2?＝400(6cosα＋23sin αcos α＋1) ＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4) π??＝8003sin?2α＋?＋1 600.

3??

ππ?π?22

因为α∈?0，?，所以当2α＝，即α＝时，OP取得最大值，(OP)max＝8003＋1

3?612?600，

2