(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案

(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题．

[演练冲关]

(2020·南京三模)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到

地面的距离PQ为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)

解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．

过点B作直线l与半圆Q相切，与圆C交于点M，N，连接CM，CN，过点C作CH⊥MN，垂足为H.

设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0， |45k－15|

则点Q到l的距离为＝15，

k2＋13

解得k＝或k＝0(舍)．

4

3

所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0.

4

|3×160－4×75|

所以点C(160，75)到直线l的距离CH＝＝36. 22

3＋（－4）361

因为在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝.

722π2π?π?又∠MCH∈?0，?，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，

2?33?

2π3

所以该游客能看到点B的时长为30×＝10(min)．

2π答：该游客能看到点B的时长为10 min.

[课时达标训练]

A组——大题保分练

1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心

M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点

的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C4

位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝ 4

－tan∠BCO＝－.

3

3

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝. 4设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝

4

＝－，① a－1703

b－0

b－603

kAB＝＝.②

a－04

联立①②解得a＝80，b＝120.

所以BC＝（170－80）＋（0－120）＝150. 因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 4

由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，

3即4x＋3y－680＝0.

2

2

|3d－680|680－3d由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝. 22

54＋3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 680－3d??5－d≥80，?r－d≥80，?

所以?即?

?r－（60－d）≥80，680－3d?

??5－（60－d）≥80.解得10≤d≤35.

680－3d故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．

5所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．

4

法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝，

343

所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝. 55

因为OA＝60，OC＝170，

680OC所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝

3cos∠FCO＝

850500

，从而AF＝OF－OA＝. 33

4因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.

5400

又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，

3从而BC＝CF－BF＝150. 因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝＝

MDMDr＝

MFOF－OM680

3

－d3＝， 5

680－3d所以r＝.

5

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 680－3d??5－d≥80，??r－d≥80，

所以?即?

?r－（60－d）≥80，680－3d?

??5－（60－d）≥80.

解得10≤d≤35.

680－3d故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．

5所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．

2．(2020·苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测

量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．

(1)求出n关于m的函数关系式；

(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．

解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)． ∵曲线段APB为抛物线的一段弧，

∴可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)(x＋20)， 1

将P(0，40)代入得40＝－400a，解得a＝－，

1012

∴抛物线的解析式为y＝(400－x)．

10

12

∵点C在抛物线上，∴n＝(400－m)，0

10(2)设等腰梯形ABCD的面积为S， 112

则S＝×(2m＋40)×(400－m)，

210

S＝(－m3－20m2＋400m＋8 000)，

S′＝(－3m2－40m＋400)＝－(3m－20)(m＋20)，

20令S′＝0，得m＝. 3

110

110

110

m S′ S ?0，20? ?3???＋ 20 30 极大值 ?20，20? ?3???－