（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案

?π?所以h＝4sin θ＋23cos θ在?0，?上单调递增．

6??

π

所以当θ＝时，h取得最大值，为5.

6又2＋23>5，所以h的最大值为2＋23. 答：(1)拱门最高点到地面的距离为5 m.

π

4sin θ＋23cos θ，0≤θ≤，??6

(2)h＝?艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到

πππ??2＋23sin?θ＋?，<θ≤.?6?6?2?地面的最大距离h的最大值为(2＋23)m.

题型(三) 与圆有关的实际应用题 主要考查与直线和圆有关的实际应用题，在航海与建筑规划中的实际问题中常见.

[典例感悟]

[例3] (2020·江苏高考)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已．．．知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．

[解] 法一：(1)如图①，过A作AE⊥BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，

DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.

因为PB⊥AB，

所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝所以PB＝

84＝. 105

12

＝＝15.

cos∠PBD4

5

BD因此道路PB的长为15(百米)． (2)均不能．理由如下：

①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆

O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝AE＋ED＝10，

2

2

AD2＋AB2－BD27

从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．

2AD·AB25

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径． 因此Q选在D处也不满足规划要求． 综上，P和Q均不能选在D处． (3)先讨论点P的位置．

当∠OBP＜90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．

当∠OBP＝90°时，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15， 3

此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9；

5当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置．

由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求． 当QA＝15时，CQ＝AQ－AC＝15－6＝321.

此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)． 法二：(1)如图②，过O作OH⊥l，垂足为H.

2

2

2

2

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系．

因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.

因为AB为圆O的直径，AB＝10， 所以圆O的方程为x＋y＝25.

3

从而A(4，3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为. 44

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，

3425

直线PB的方程为y＝－x－. 33

所以P(－13，9)，PB＝ （－13＋4）＋（9＋3）＝15. 因此道路PB的长为15(百米)． (2)均不能．理由如下：

①若P在D处，取线段BD上一点E(－4，0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4，9)， 又A(4，3)，

2

2

2

2

3

所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．

4

?15?在线段AD上取点M?3，?，

4??

因为OM＝

?15?22

3＋??<3＋4＝5，

?4?

2

2

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径． 因此Q选在D处也不满足规划要求． 综上，P和Q均不能选在D处． (3)先讨论点P的位置．

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．

当∠OBP＝90°时，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13，9)； 当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置．

由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a，9)，

由AQ＝（a－4）＋（9－3）＝15(a>4)， 得a＝4＋321，所以Q(4＋321，9)．

此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

综上，当P(－13，9)，Q(4＋321，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋321－(－13)＝17＋321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)．

[方法技巧]

与圆有关应用题的求解策略

(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A，B的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆．

2

2