专题04几何最值存在性问题(解析版)

设P??1.5,y?，则PO2?94?y2，OB2?8，PB2?124??y?2?．

∵△POB为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①PO2?OB2，即

94?y2?8，解得：y??232， ∴P?23??23?1???1.5,??2??，P?2???1.5,?2??；

?②PB2?OB2，即

14??y?2?2?8，解得：y??2?312， ∴P?31??31?3???1.5,?2?2??，P4???1.5,?2?2??；

????③PB2?OP2，即

1??y?2?2?9?y244，解得：y??0.5 ∴P5??1.5,?0.5?； （3）设M?x,y?．

∵A?1,4?，B??2,?2?，O?0,0?，

∴MO2?x2?y2，MA2??x?1?2??y?4?2，MB2??x?2?2??y?2?2．∵MO?MA?MB，

?∴??x2?y2??x?1?2??y?4?2??x2?y2??x?2?2??y?2?2 ??x??11解得：??2，

???y?72∴M???11?2,7?2??． 作B关于y轴的对称点B'坐标为：(2，-2)． 连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．

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C?BQM?MQ?BQ?MB?MQ?QB??MB=MB'+MB

?11??7??11??7?????2????2?????2????2? ?2??2??2??2?2222?12?346?170．

?

【名师点睛】

本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M的坐标． 【举一反三】

（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y＝﹣在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求出直线BC的解析式．

M为线段BC上方抛物线上一动点，（2）过M作x轴的垂线交BC于H，过M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周长最大值并求出此时M的坐标；当△MHQ的周长最大时在对称轴上找一点R，使|AR﹣MR|最大，求出此时R的坐标．

（3）T为线段BC上一动点，将△OCT沿边OT翻折得到△OC′T，是否存在点T使△OC′T与△OBC的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT的长，若不存在，请说明理由．

323x?x+3与x轴交于A和B两点，（点A84 10

【答案】（1）y＝﹣【解析】 【分析】

9316x+3；（2）R（1，）；（3）BT＝2或BT＝．

542（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），即可求BC的解析式；

35QM，MH＝MQ，所以△MHQ周长＝3QM，则求△MHQ

44323周长的最大值，即为求QM的最大值；设M（m，?m?m?3），过点M与BC直线垂直的直线解析

84（2）由已知可得∠QMH＝∠CBO，则有QH＝式为y?27221437?927?m?m?3?，可求出x?m2?m?3，交点Q?m?m,?252001003812?50?MQ=36?m2?4m?，当m＝2时，MQ有最大值；函数的对称轴为x＝1，作点M关于对称轴的对称点?510M'（0，3），连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，|AR﹣MR|的最大值为AM'；求出AM'的直线解析式为y?3?9?x?3，则可求R?1，?； 2?2?（3）有两种情况：当TC'∥OC时，GO⊥TC'；当OT⊥BC时，分别求解即可． 【详解】

解：（1）令y=0，即?∵点A在点B的左侧 ∴A（﹣2，0），B（4，0）， 令x=0解得y=3， ∴C（0，3），

设BC所在直线的解析式为y=kx+3， 将B点坐标代入解得k=?∴BC的解析式为y＝-

323x?x?3?0，解得x1??2,x2?4， 843 43x+3； 411

（2）∵MQ⊥BC，M作x轴， ∴∠QMH＝∠CBO， ∴tan∠QMH＝tan∠CBO＝34， ∴QH＝

34QM，MH＝54MQ，

∴△MHQ周长＝MQ+QH+MH＝

34QM+QM+54MQ＝3QM，

则求△MHQ周长的最大值，即为求QM的最大值； 设M（m，?3m2?384m?3）， 过点M与BC直线垂直的直线解析式为y?43x?378m2?12m?3， 直线BC与其垂线相交的交点Q??9?50m2?725m,?27221?200m?100m?3??，∴MQ=310??m2?4m?， ∴当m＝2时，MQ有最大值65， ∴△MHQ周长的最大值为185，此时M（2，3）， 函数的对称轴为x＝1，

作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），

连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'， ∴|AR﹣MR|的最大值为AM'； ∵AM'的直线解析式为y＝32x+3， ∴R（1，

92）； （3）①当TC'∥OC时，GO⊥TC'， ∵△OCT≌△OTC'， ∴OG＝3?45=125， ∴T??126?5，?5?? ∴BT＝2；

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