2014《成才之路》高一数学（人教A版）必修4综合检测题：第二章 平面向量

32C．－2 [答案] A

315D．－2

[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． →→→→

由条件知AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD＝10＋5＝15. →→→

22|CD|＝5＋5＝52，则AB在CD方向上的投影为 →→

→→→AB·CD1532|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝2，故选A.

→52|CD|

10．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( ) πA.6 πC.3 [答案] C

[解析] a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2. 1πcosθ＝2，θ∈[0，π]，故θ＝3. 11．(2012·全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| [答案] C

[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，

π

B.4 πD.2

a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

→→15

12．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝4，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为( )

A．30° C．150° [答案] C

1[解析] 由a·b<0可知a，b的夹角θ为钝角，又S△ABC＝2|a|·|b|sinθ，115∴2×3×5×sinθ＝4，

1

∴sinθ＝2?θ＝150°.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

→→→

13．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是____________．

[答案] A，B，D

→→→

[解析] BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋→2b)＝2AB.

14．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则

B．－150° D．30°或150°

实数k等于________．

[答案] －1

[解析] (ka－2b)·a＝0，[k(1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k－4，k＋6)·(1,1)＝0，k－4＋k＋6＝0，

∴k＝－1.

15．(2013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____________．

1[答案] 2 [解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， ∵(a＋λb)∥c，

1

∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝2.

→→

16．(2013北京东城区模拟)正三角形ABC边长为2，设BC＝2BD，→→→→AC＝3AE，则AD·BE＝________.

[答案] －2

→→→→1→→→→1→→

[解析] ∵AD＝AB＋BD＝AB＋2BC，BE＝AE－AB＝3AC－AB， →→→1→1→→1→→1→→1→→∴AD·BE＝(AB＋2BC)·(3AC－AB)＝3AB·AC＋6BC·AC－2BC·AB

→111111

－AB2＝3×2×2×2＋6×2×2×2＋2×2×2×2－22＝－2.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)(山东济南一中12－13期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)

(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围； (2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．

[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向． a·b＝x＋2>0，∴x>－2 1

当x＝2时，a、b同向． 1

∴x>－2且x≠2 (2)a＋2b＝(1＋2x,4)，(2a－b)＝(2－x,3) (2x＋1)(2－x)＋3×4＝0 即－2x2＋3x＋14＝0 7

解得：x＝2或x＝－2.

18．(本题满分12分)(山东师大附中2012－2013期中)设e1、e2

→→→

是正交单位向量，如果OA＝2e1＋me2，OB＝ne1－e2，OC＝5e1－e2，若A、B、C三点在一条直线上，且m＝2n，求m、n的值．

[解析] 以O为原点，e1、e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，

→→→

则OA＝(2，m)，OB＝(n，－1)，OC＝(5，－1)，