高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列教师用书理5

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1?1?

∵an＝a3·qn－3＝32·??n－3＝28－n＝＝2－1，

2?2?∴8－n＝－1，即n＝9。

解法二：∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18且a3＋a6＝a1·q2·(1＋q3)＝36， 1

∴q＝，a1＝128。

2又∵an＝a1·qn－1

?1?n－18－n1－1

＝2·??＝2＝＝2，

2?2?

7

∴8－n＝－1，即n＝9。

(2)∵a2·a8＝a3·a7＝36且a3＋a7＝15， ∴a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3。 12

∵q4＝4或q4＝，∴q＝±2或q＝±。

42(3)∵S8＝

a1[1－－2

1＋2

8

]

＝

a1－15

1＋2

＝15(1－2)，

∴a1＝－(1－2)·(1＋2)＝1。 2

【答案】 (1)9 (2)±2或± (3)1

2

反思归纳 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。

【变式训练】 (1)(2016·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a23＝4a2a6，则a4＝( )

3

A. 83C. 16

24B. 59D. 16

(2)(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( ) 1A. 2C．2

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S8S4

17B. 16D．17

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【解析】 (1)由题意，得

?

?aq?q>0，

12

a1＋2a1q＝3，

2

＝4a1q·a1q5，

3?a＝，?2解得?1

??q＝2，

1

3?1?33

所以a4＝a1q＝×??＝。故选C。

2?2?16

3

a5311

(2)∵a2－8a5＝0，∴＝q＝，∴q＝。

a282

∴＝

S8a5＋a6＋a7＋a8

＋1

S4a1＋a2＋a3＋a4

＝

?1?4

?2?a1＋a2＋a3＋a4??

a1＋a2＋a3＋a4

17

＋1＝。故选B。

16

【答案】 (1)C (2)B 考点二 等比数列的判定与证明…………母题发散 【典例2】 (1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列。

【解析】 (1)由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，故选D。

(2)证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， ∴

bn＋1an＋2－2an＋14an＋1－4an－2an＋12an＋1－4an＝＝＝＝2。 bnan＋1－2anan＋1－2anan＋1－2an∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5。∴b1＝a2－2a1＝3。 ∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。 【答案】 (1)D (2)见解析

【母题变式】 1.在本典例(2)的条件下，求{an}的通项公式。

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【解析】 由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， 所以n＋1－n＝，

224

?an??13?

故?n?是首项为，公差为的等差数列。

24??2??

an＋1an3

an133n－1

所以n＝＋(n－1)·＝，

2244

所以an＝(3n－1)·2n－2。 【答案】 an＝(3n－1)·2n－2

2．在本典例(2)中，若cn＝，证明：{cn}为等比数列。

3n－1【证明】 由[变式1]知，an＝(3n－1)·2n－2， ∴cn＝2n－2。

ancn＋12n－1∴＝＝2。 cn2n－2

1

又c1＝＝，

3×1－12

1

∴数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列。

2

反思归纳 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。

(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证。

【拓展变式】 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0。 (1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式； 31

(2)若S5＝，求λ。

32

1

【解析】 (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a≠0。

1－λ1由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan。由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0， 所以

a1

an＋1λ＝。 anλ－1

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1λ因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是

1－λλ－11?λ?n－1

an＝??。

1－λ?λ－1?

31?λ?n?λ?531?λ?51

(2)由(1)得Sn＝1－??。由S5＝32得1－?λ－1?＝32，即?λ－1?＝32。

?λ－1?????解得λ＝－1。

【答案】 (1){an}是首项为

考点三 1λ1?λ?n－1

，公比为的等比数列，an＝?? (2)λ＝－1 1－λλ－11－λ?λ－1?

等比数列的性质应用 【典例3】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于( ) A．4 C．6

B．5 D．7

(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( ) A．80 C．26

【解析】 (1)∵a3·a11＝16，∴a27＝16。 又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4。 又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5。故选B。 (2)设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知： 2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，

同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30。故选B。 【答案】 (1)B (2)B

反思归纳 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形。根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。

1

【变式训练】 (1)已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数2

2

2

B．30 D．16

列，则＝( )

3A. 232B.或 23mn马鸣风萧萧整理