物理建模系列 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型

物理建模系列 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型

1．模型条件

(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。

(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。 2．常用模型

该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：

轻绳模型 轻杆模型 常见类型 最高点：FT＝0 过最高点的临界条件 v即mg＝m得 rv临＝gr 2 最高点v＝0 即F向＝0 FN＝mg (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持(1)过最高点时，v≥gr， v2FN＋mg＝m，绳、轨道对球r讨论分析 产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜gr时， v2－FN＋mg＝m，FN背离圆心且随rv的增大而减小 (3)当v＝gr时，FN＝0 v2(4)当v＞gr时，FN＋mg＝m，FNr指向圆心并随v的增大而增大

如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。

(1)求小球通过最高点A时的速度vA；

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

解题指导： 解答本题可按以下思路进行：

分析小球的运动过程抓住小球在最高点的临界条件利用牛顿第二定律列方程绳子在B点断裂后小球 做平抛运动

解析： (1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有

2vA

mg＝m

L

解得vA＝gL。

v2B

(2)小球在B点时，根据牛顿第二定律有FT－mg＝m

L其中FT＝6mg

解得小球在B点的速度大小为vB＝5gL

1

细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得竖直方向上：1.9L－L＝gt2

2水平方向上：x＝vBt 解得x＝3L

即小球落地点到C点的距离为3L。 答案： (1)gL (2)3L [即学即练]

(2016·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )

A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是gR

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

解析： 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝gR时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向v2v2

上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v＞gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，RR随v增大，F增大，故C、D均错误。 答案： A