高2020届高2017级创新设计高考总复习数学人教A版第八章 第7节

第7节 抛物线

考试要求 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知 识 梳 理

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质

图形 标准 方程 顶点 对称轴 焦点 性 质 离心率 准线方程 范围 开口方向 [微点提醒]

1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

p?p?

2.抛物线y＝2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F?2，0?的距离|PF|＝x0＋2,也称为抛

??

2

y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) y2＝2px (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 O(0,0) y＝0 ?p?F?2，0? ??px＝－2 x≥0,y∈R 向右 ?p?F?－2，0? ??e＝1 px＝2 x≤0,y∈R 向左 py＝－2 y≥0,x∈R 向上 py＝2 y≤0,x∈R 向下 p??F?0，2? ??x＝0 p??F?0，－2? ??物线的焦半径.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )

?a?

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是?4，0?,

??

a

准线方程是x＝－4.( )

(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )

解析 (1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线.

1

(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝ay,是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是1?1?

?0，4a?,准线方程是y＝－.

4a??

(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点,且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是________________.

94

解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my,代入点P(－2,3),解得k＝－2,m＝3,94

所以y2＝－2x或x2＝3y. 94

答案 y2＝－2x或x2＝3y

3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.

解析 设P(x1,y1),则|PF|＝x1＋2＝5,得x1＝3,y1＝±26.故满足条件的点的个数为2. 答案 2