2019学年人教版 高中数学 选修2-2练习：1.1.1变化率问题含答案

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选修2-2 第一章 1.1 1.1.1

一、选择题

1．(2013·临沂高二检测)在表达式f?x0＋Δx?－f?x0?

Δx中，Δx的值不可能( )

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．大于0或小于0

[答案] C

[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选C.

2．函数y＝f(x)当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) [答案] D

[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3 B．0.29 C．2.09 D．2.9 [答案] D

[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.

∴平均变化率为f?－0.9?－f?－1?－1.71－0.9－?－1?

＝－?－2?

0.1＝2.9，故应选D.

4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A、B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1 [答案] B

[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.

∴kf?1.3?－f?1?5.69－5

AB＝1.3－1

＝0.3＝2.3，故应选B.

5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( ) A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx

D．(Δx)2－2·Δx ) [答案] B

[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0， ∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx) ＝－2Δx－(Δx)2， ∴

f?2＋Δx?－f?2?

＝－2－Δx，故应选B.

2＋Δx－2

Δy

6．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝( )

ΔxA．4 C．4＋2(Δx)2 [答案] B

Δy

[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2·(Δx)2＋4·Δx，所以＝2Δx＋4.

Δx二、填空题

Δy

7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.

Δx[答案] (Δx)2＋6Δx＋12

33

Δy?2＋Δx?－2－?2－2?

[解析] ＝

ΔxΔx

B．4＋2Δx D．4x

?Δx?3＋6?Δx?2＋12Δx

＝

Δx＝(Δx)2＋6Δx＋12.

11

8．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为__________________．

4x2

[答案] － 9

11

－Δy2＋Δx212

[解析] ＝＝－＝－.

ΔxΔx94＋2Δx

9．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．

[答案] 5 4.1

[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率

2222Δy?2＋Δx?－1－2＋1?2＋1?－2k1＝＝＝＝5.

ΔxΔx1

当Δx＝0.1时，割线AB的斜率

22

Δy?2＋0.1?－1－2＋1k2＝＝＝4.1.

Δx0.1

三、解答题

10．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]、[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．

[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 f?－1?－f?－3?[2×?－1?＋1]－[2×?－3?＋1]

＝＝2.

2－1－?－3?

函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f?5?－f?0?

＝2. 5－0

函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 g?－1?－g?－3?

＝－2.

－1－?－3?

函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g?5?－g?0?

＝－2.

5－0

一、选择题

11．质点运动规律S(t)＝2t＋3，则t从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A．9 C．2 [答案] C

[解析] S(3)＝9，S(3.3)＝9.6，

S?3.3?－S?3?0.6

∴平均速度v＝＝＝2，故应选C.

0.33.3－3

1

12．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平

x均变化率最大的是( )

A．④ C．② [答案] B

[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；1110④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.

x131＋Δx

13．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )

B．③ D．① B．9.6 D．0.2

A．v0

s?t0＋Δt?－s?t0?C．

Δt[答案] C

B．

Δt

s?t0＋Δt?－s?t0?

s?t?D．

t

[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C. 二、填空题

1

14．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．

2[答案] [解析]

6－2

1＋Δx－1Δy＝＝6－2. ΔxΔx

三、解答题

2

15．过曲线f(x)＝2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx

x1

＝时割线的斜率． 4

[解析] 割线AB的斜率k＝

?2＋Δy?－2Δy

＝ ?1＋Δx?－1Δx

2

－2

?1＋Δx?2－2?Δx＋2?72＝＝2＝－. Δx25?1＋Δx?

16．(2013·宜兴高二检测)比较y＝x3与y＝x2在x＝2附近平均变化率的大小． ?2＋Δx?3－23[解析] 当自变量x从x＝2变化到x＝2＋Δx时，y＝x的平均变化率k1＝＝

Δx

3

(Δx)2＋6Δx＋12，

?2＋Δx?2－22

y＝x的平均变化率k2＝＝Δx＋4，

Δx

2

57

∵k1－k2＝(Δx)2＋5Δx＋8＝(Δx＋)2＋>0，

24∴k1>k2.

∴在x＝2附近y＝x3的平均变化率较大．

17．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯10s内身影的平均变化率．

[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则

ABBE＝， ACCD

即

y1.61＝，所以y＝f(x)＝x.

4y＋x8

(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为 x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14， 117

f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝. 4427

f?x2?－f?x1?21所以＝＝.

144x2－x1

1

即人离开路灯10s内身影的平均变化率为.

4