专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题（学生用）

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

1

1

（2）y＝x＋ 2

2xx解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5

技巧二：凑系数 例： 当时，求y?x(8?2x)的最大值。

变式：设0?x?

技巧三： 分离换元

3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2x2?7x?10(x??1)的值域。 例：求y?x?1 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)?x?例：求函数y?a的单调性。 xx2?5x?42的值域。

技巧六：整体代换（“1”的应用）

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x?0,y?0，且

技巧七

例：已知x，y为正实数，且x＋

1

2

19??1，求x?y的最小值。 xyy 2

2

＝1，求x1＋y 的最大值.

2

技巧八：

1

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.

ab

技巧九、取平方

例: 求函数y?2x?1?5?2x(1?x?5)的最大值。

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应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：???1??1??1??1???1???1??8 ?a??b??c?

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x?0,y?0且

19??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

a?b?1,P?lga?lgb,Q?1a?b(lga?lgb),R?lg()，则P,Q,R的大小关系是 . 222