2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲课后作业理含解析

高考数学一轮复习第8章平面解析几何：

第8章 平面解析几何 第8讲

A组 基础关

1．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂→→→→

足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为( )

A．x＝4y B．y＝3x C．x＝2y D．y＝4x 答案 A

解析 设点P(x，y)，则Q(x，－1)． →→→→∵QP·QF＝FP·FQ，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x－2(y－1)，整理得x＝4y， ∴动点P的轨迹C的方程为x＝4y.

2．(2018·安顺三模)曲线C：x＋2xy＋4＝0的对称性为( ) A．关于原点成中心对称 B．关于点(－2,0)成中心对称 C．关于直线y＝x对称 D．曲线C不具有对称性 答案 A

解析 设点P(a，b)(a，b∈R)在曲线上，则a＋2ab＋4＝0，即(－a)＋2(－a)(－b)＋4＝0，则P点关于原点的对称点P′(－a，－b)也在曲线上，∴曲线关于原点对称．

2

2

22

2

2

2

2

2

2

x2y2

3.(2018·安徽六安一中月考)如图，已知F1，F2是椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右

ab焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案 B

解析 延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|＝|PM|，且Q为线段F2M的中点．又O为线段F1F2

1

11

的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|＝|F1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆的定义，得

22|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．

答案 4π

解析 设点P的坐标为(x，y)．则由|PA|＝2|PB|得(x＋2)＋y＝4[(x－1)＋y]，即(x－2)＋y＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积为4π.

5．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA5

＝sinC，则C点的轨迹方程为________． 4

答案

＋＝1(x≠±5) 259

2

2

2

2

2

2

x2y2

55

解析 由sinB＋sinA＝sinC利用正弦定理可知|AC|＋|BC|＝|AB|＝10>|AB|，所以点

44

C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为10的椭圆(不含左、右顶点)，其轨迹方程为＋＝

25

9

1(x≠±5)．

x2y2

x2y2

6.如图，P是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原

ab→→→

点，且OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是________．

2

x2y2

答案 2＋2＝1

4a4b→→→→→→→

解析 由于OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝2PO＝－2OP.

y?y?1→?x→?x设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝?－，－?，即P点坐标为?－，－?，又P在椭圆上，则

2?2?2?2?2

有

?－x?2?－y?2

?2??2?????

a2

＋

b2

2

x2y2

＝1，即Q的轨迹方程为2＋2＝1.

4a4bB组 能力关

2

1．与圆x＋y－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是( ) A．y＝8x

B．y＝8x(x>0)和y＝0 C．y＝8x(x>0)

D．y＝8x(x>0)和y＝0(x≤0) 答案 D

解析 如图，设与y轴相切且与圆C：x＋y－4x＝0外切的圆心为P(x，y)，半径为r，

2

2

2222

则

x－2

2

2

＋y＝|x|＋2.

2

若x>0，则y＝8x； 若x≤0，则y＝0.

2．(2018·沈阳月考)在△ABC中，B(－5，0)，C(5，0)，AB，AC边上的中线长之和为9.则△ABC重心G的轨迹方程是( )

3

A.＋＝1(y≠0) 49

C.－y＝1(y≠0) D．x－＝1(y≠0) 44答案 B

x2y2x2

B.＋＝1(y≠0)

94

2

x2y2

2

y2

解析 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE， 22

∵BG＝BE，CG＝CD，

33

2

∴BG＋CG＝(BE＋CD)＝6(定值)．

3

因此，G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝5， ∴a＝3，b＝2，可得椭圆的方程为＋＝1.

94

∵当G点在x轴上时，A，B，C三点共线，不能构成△ABC.

∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选B.

943．已知圆C：x＋y＝25，过点M(－2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点Q时，点Q的轨迹方程为________．

答案 2x－3y＋25＝0

解析 圆C：x＋y＝25的圆心C为(0,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，因为

2

AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA，所以(x1－x0)(x1－0)＋(y1－y0)(y1－0)＝0，即x21－x0x1＋y1－2y0y1＝0，因为x21＋y1＝25，所以x0x1＋y0y1＝25，同理x0x2＋y0y2＝25，所以过点A，B的直线

2

22

2

x2y2

x2y2

方程为xx0＋yy0＝25.因为直线AB过点M(－2,3)，所以得－2x0＋3y0＝25，所以点Q的轨迹方程为2x－3y＋25＝0.

4．已知长为1＋2的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一2→→

点，且AP＝PB，则点P的轨迹C的方程为________．

2

答案

x2

2

＋y＝1

2

解析 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则 →

AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)，因为AP＝所以x－x0＝－22

x，y＝(y0－y)，得 22

→→

2→

PB， 2

x0＝?1＋??2?

?x，y0＝(1＋2)y. 2?

2

2

2

因为|AB|＝1＋2，即x0＋y0＝(1＋2)， 所以??1＋

????2??222

?x?＋[(1＋2)y]＝(1＋2)， 2??

2

化简得＋y＝1.

2

4

x2