2020高考数学一轮复习第五章平面向量5-4平面向量应用举例学案理

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量5-4平面向量应

用举例学案理

考纲展示? 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

考点1 向量在平面几何中的应用

向量在几何中的应用

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝

λb?____________(b≠0)．

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：

a⊥b?a·b＝0?____________. (3)平面几何中夹角与线段长度计算： ①cos

a，b

＝＝________________；

②|AB|＝||＝＝____________.

答案：(1)x1y2－x2y1＝0 (2)x1x2＋y1y2＝0

(3)①

②

x2－x12＋y2－y12

[典题1] 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若 动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )

B．外心 D．垂心

A．内心 C．重心 [答案] C

[解析] 由＝＋λ(＋)，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)．根据平行四边形法则知，＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC

2019年

的重心．

[题点发散1] 在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

答案：A

解析：由条件，得－＝λ，

即＝λ·.

而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC， 即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．

[题点发散2] 在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

答案：D

解析：由条件，得

→

＝λ，AP

→→→

?→?AB·BCAC·BC??＋ 从而·＝λ→

→

???|AB|cos B|AC|cos C?

→→

＝λ·＋λ·

|AC||BC|cos C→|AC|cos C

＝0，

∴⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． [点石成金] 向量与平面几何综合问题的解法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表

示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进

行求解．

已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，

DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．

答案：2

典题2] [解]

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解析：解法一：如图，＝＋＝＋，

→

＝＋＝＋＝＋，AF

∴·＝·?→??

BC＋1→?

λAB?

? ＝·＋2＋2

＝×2×2×cos 120°＋＋＝1，

解得λ＝2.

解法二：建立如图所示平面直角坐标系．

由题意知，

A(0,1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0)． 由BC＝3BE，DC＝λDF可求，

点E，F的坐标分别为E，

F， ∴·＝·＝－2＋＝1，

解得λ＝2.

考点2 平面向量在三角函数中的应用

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n

＝，且2m·n＋|m|＝，·＝1.

(1)求角A的大小； (2)求△ABC的面积S.

因为2m·n＝2sin cos －2cos2＝sin A－(cos A＋1)＝sin－1，

又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝sin＝，即sin＝.

因为0＜A＜π， 所以－＜A－＜， 所以A－＝，即A＝.

(2)cos A＝cos ＝cos??ππ

?6＋4???

[(1) 2019年

＝cos cos －sin sin 4

π

＝，

因为·＝bccos A＝1，

所以bc＝＋.

又sin A＝sin ＝sin＝，

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝(＋)×＝.

[点石成金] 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的

坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．

2．熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运

算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.

1.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos

A，sin A)．若m⊥n，且

acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( ) B.，6 D.，3 ππ

A.， C.， 答案：C

解析：由m⊥n，得m·n＝0，

即cos A－sin A＝0，

即2cos＝0. ∵

∴A＋＝，即A＝.

又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A

＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c， 且acos B＋bcos A＝csin C，

即c＝csin C，