数列通项、数列前n项和的求法例题+练习

通项公式和前n项和

一、新课讲授： 求数列前N项和的方法 1. 公式法

（1）等差数列前n项和：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22ak?1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k?1?(2k?1)g式在很多时候可以简化运算。

（2）等比数列前n项和： q=1时，Sn?na1

q?1，Sn?a11?qn1?q??，特别要注意对公比的讨论。

（3）其他公式较常见公式：

n1121、Sn??k?n(n?1) 2、Sn??k?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n3、Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?1?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23n[例1] 已知log3x?

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)?*

Sn的最大值.

(n?32)Sn?1

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n?1[例3] 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………①

[例4] 求数列

练习：

求：Sn=1+5x+9x+······+(4n-3)x

2

n-1

2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 2222答案： 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n

1 4x(1-xn) n 当x≠1时，Sn= 1-x [ 1-x +1-（4n-3）x]

3. 倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).

[例5] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值

2?2?2?2?2?4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：1?1,

练习：求数列12,24,38,???,(n?2n),???的前n项和。

1111111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1??tan(n?1)??tann? （1）an?f(n?1)?f(n) （2）??cosncos(n?1)(2n)2111111?1?(?) ??（3）an? （4）an?(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)nn?1（5）an?1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1? nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n(6) an?[例9] 求数列

11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

[例10] 在数列{an}中，an?212n，又bn?，求数列{bn}的前n项的和. ??????an?an?1n?1n?1n?1

111cos1????????[例11] 求证：

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?解：设S?111 ????????????cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1??tan(n?1)??tann? （裂项） ∵??cosncos(n?1)111 （裂项求和） ????????????cos0cos1cos1cos2cos88cos891???????? ＝{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin1 ∴S?cos1?11???(tan89?tan0)＝?cot1＝2? ＝

sin1sin1?sin1? ∴ 原等式成立

练习：求 之和。

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.