2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形3（附答案）

∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝

1AC， 2∴OB＝

1AB＝1（30°角所对的直角边是斜边的一半）， 2∴OA＝3（cm），AC＝2OA＝23（cm）， 运动ts后，AP＝3 t，AQ＝t，

∴

APAC= =3， AQAB又∵∠PAQ＝∠CAB， ∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ＝∠ACB（相似三角形的对应角相等）， ∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，∴PM＝

1PC＝3，由PM＝PQ＝AQ＝t，即3＝t 2解得t＝43﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点； 如图3，⊙P过点B，此时PQ＝PB，

∵∠PQB＝∠PAQ+∠APQ＝60°

∴△PQB为等边三角形，∴QB＝PQ＝AQ＝t，∴t＝1 ∴当43﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC＝PQ，即23﹣3t＝t，∴t＝3﹣3．

∴当1＜t≤3﹣3时，⊙P与边BC有一个公共点，

当点P运动到点C，即t＝2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC有一个公共点，

∴当t＝43﹣6或1＜t≤3﹣3或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点； 当43﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点． 【点睛】

本题综合考查菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解． 22．（1）见解析；（2）DE?【解析】 【分析】

（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥BE，根据平行线的性质证明； （2）连接CD，根据勾股定理求出AB，证明△BDC∽△BCA，求出BD，证明△DEB∽△ACB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

48. 25

【详解】

（1）证明：连接OD， ∵DE是eO的切线； ∴OD?DE， ∵BE?DE， ∴OD//BE， ∴?EBD??ODB， ∵OD?OB， ∴?ODB??ABC， ∴?ABC??ABE； （2）连接CD，

在Rt?ABC中，AC?3，BC?4， ∴AB?5， ∵eO的半径， ∴?CDB?90?， ∵?ACB?90?， ∴?ACB??CDB， ∵?ABC??CBD， ∴?BDC??BCA.

BDBCBD4??， ，即BCAB4516∴BD?，

5∴

∵?ACB??DEB?90?，?ABC??ABE， ∴?DEB??ACB.

16DEBD?∴，即DE5 ?ACAB3548∴DE?.

25

【点睛】

考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23．(1)证明见解析；(2)441. 【解析】 【分析】

（1）先证明∠BAC＝∠DCE，根据相似三角形的判定△ABC∽△CED即可； （2）利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】

（1）∵AB⊥l，DE⊥l，∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°．

∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，∴△ABC∽△CED； （2）如图，连接AC．过点D作DE⊥BC延长线于点E． ∵∠ABC＝90°，∴AC?AB2?BC2?62?82?10．

∵AD＝105，CD＝20，∴△ACD满足AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°． 由（1）得：△ABC∽△CED，∴在Rt△BDE中，BD?CEDECD???2，∴CE＝12，DE＝16． ABBCAC2BE2?DE2?（12?8）?162?441．

故答案为：441． 【点睛】