2010年广东高考热点题型聚焦（六）《数列与不等式》

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2010年广东高考热点题型聚焦(六)《数列与不等式》

数列、不等式

文科：数列应以基本元思想和方程思想为主，重点关注基本的等差等比数列的综合应用和错位相减法求和.

理科：突出转化与化归思想，重点关注数列与绝对值不等式之间的综合，强化不等式证明的方法.

文科参考题目：

1．设曲线Cxn?1(n?N*)在点P????12,f(?12)?n:f(x)???处的切线与y轴交于点Qn(0,yn).

（Ⅰ）求数列{yn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{yn}的前n项和为Sn，猜测Sn的最大值并证明你的结论.

解：（Ⅰ）?f/(x)?(n?1)xn(n?N*), ………………………… 1分

n∴点P处的切线斜率k?(n?1)??1?n??2??, ………………………… 2分

n?1n∴切线方程为:y???1???2???(n?1)????1?2??(x?12), ………………………… 3分

n?1令x?0得: y?1?n????2???n?12?????1?n2??,故数列{yn?1?nn}的通项公式为:yn?2????2??.…… 4分

23(2) S1?1?2?1?3?1?n?1?nn?2????2???2????2???2????2?????2????2??------①

234n?1两边同乘?12得:?12?S1?1?2?1?3?1?n?1?n?2????2???2????2???2????2?????2????2??------②

23n①?②得: 32?s1?1?1?1?1?1?1?1?n?1?n?1n?2????2???2????2???2????2?????2????2???2????2??… 6分

23nn?1?3S?1??1??1??1??1?n????2??????2??????2????????2???n????2??

n?1n?1????1??n?11????1??2?2??n?????2??n?11?1???1?2??3?n???1???2?? 2

1

∴S1?2?3nn?9?????2???1?n?2???1?? …………………… 8分 ?其中S1311?y1??4, S2?y1?y2?0,S3??16,S4??16 猜测Sn的最大值为S2?0.证明如下: …………………… 10分

(i)当n为奇数时，S1?2?3nn?n??9????1???1??0； …………………… 11分 ??2?2???(ii)当n为偶数时，S19???2?3n?2?1?3n8?3nn?2?n?1??,设h(n)?2n?1,则h(n?2)?2n?3.

h(n?2)?h(n)?8?3n2n?3?2?3n2n?1??9n2n?3?0, ∴h(n?2)?h(n). …………………… 13分 故h(n)?2?3n2n?1的最大值为h(2)?1,即Sn的最大值为S2?0. …………………… 14分2．已知函数f1t(x)?1?x?1(1?x)2(t?x)，其中t为常数，且t?0. （Ⅰ）求函数ft(x)在(0,??)上的最大值；

（Ⅱ）数列?a中，a2n?1?3，an?1an?2an?an?1，求?an?的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的x?0，an?f1(x)，n?1，2，?． 2n解:(Ⅰ)由ft(x)?11?x?1(1?x)2?t?x?，得 则f1?(1?x)2??t?x??2(1?x)2?t?x?t?(x)??(1?x)2?(1?x)4?(1?x)3………………………2分 ?x?0，∴当x?t时，ft?(x)?0；当x?t时，ft?(x)?0，

∴当x?t时，f)取得最大值f1t(xt(t)?1?t．………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知1111111a???,即?1?(?1)………………………………6分

n?12an2an?12an∴数列{1a?1}是以1?1?1为首项,1na122为公比的等比数列,

∴1a?1?1?(1)1， 即a2nn?n? ……………………………………………8分 n222n?1（Ⅲ）令t?11112n?0，则f1(x)?2n1?x?(1?x)2(2n?x)…………………………10分 由（Ⅰ）可知， f(x)?f112n11(?n?an. ……………………13分 2n2n2n)?1?12?12n

2

∴对任意的x?0，不等式an?f1(x)(n?1，2，?)成立.…………………………………14分

????????????3．已知O为A,B,C三点所在直线外一点，且OA??OB??OC.数列{an}，{bn}满足a1?2，

?an??an?1??bn?1?1?b1?1，且??b??a??b?1n?1n?1?n(Ⅰ) 求???；

(Ⅱ) 令cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式；

（n?2）.

2n1时，求数列{an}的通项公式． 2????????（Ｉ）解：A,B,C三点共线，设AB?mBC，则

(III) 当????????????????????????????AB?OB?OA?mBC?m(OC?OB)，………………………………………………2分

????????????化简得：OA?(m?1)OB?mOC，所以??m?1,???m,

所以???＝１。……………………………………………………………………………4分 （II）由题设得an?bn?(???)(an?1?bn?1)?2?an?1?bn?1?2(n?2)…… 6分

即cn?cn?1?2（n≥2），所以{cn}是首项为a1?b1?3，公差为２的等差数列，通项公式为

cn?2n?1． ……………………………………………………………… 8分

1(an?1?bn?1)(n?2)，……10分 211令dn?an?bn，则dn?dn?1(n≥2)．所以{dn}是首项为a1?b1?1，公比为的等比数列，通项公

221式为dn?n?1．…………………………………………………12分

2（III）由题设得an?bn?(???)(an?1?bn?1)??an?bn?2n?1，11?a??n?由?解得·········································································· 14分 1nn22an?bn?n?1??2

理科参考题目：

1．已知：x1,x2（x1?x2）是方程x?6x?5?0的两根，且yn? （1）求y1,y2,y3的值；

2xn?11?，xn?2?(5?)xn?1. n?N． xnyn3

n （2）设zn?ynyn?1，求证：

?zi?26n；

i?1 （3）求证：对?n?N?有|y12n?yn|?125?126n?2w。.w.． 解：（1）解方程x2?6x?5?0得x1?1，x2?5，-----------------------1分

∴y21?xx?5,-----------------------------------------2分 1x?(5?13y)x2?26， 1∴y3262?xx?，-----------------------------------------3分 25x14?(5?y)x3?135, 2∴yx41353?x?-------------------------------------------4分 326（2）由x1n?2?(5?)xx?21yn?1得nx?5? nn?1yn即y1n?1?5?y?yn?1yn?5yn?1--------------------------6分 n当n?2时yn?5，于是z1?y1y2?26,zn?ynyn?1＝5yn?1?26（n?2）n∴

?zi?z1?z2???zn?26n------------------------------9分

i?1（3）当n?1时|y125262?y1|?5?125?125，结论成立；------------10分 当n?2时，有|y1n?1?yn|?|5?y?(5?1)|?|yn?yn?1|?1|yn?yn?1| nyn?1ynyn?126?1262|yn?1?yn?2|???11126n?1|y2?y1|＝5?26n?1------------------12分∵|y2n?yn|?|y2n?y2n?1?y2n?1?y2n?2?y2n?2???yn?1?yn| ∴|y2n?yn|?|yn?1?yn|???|y2n?1?y2n?2|?|y2n?y2n?1|

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