2020高考理科数学一轮复习 第二章 3 第3讲 刷好题练能力

[基

础题组练]

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) 1

A．y＝

xB．y＝|x|－1

C．y＝lg x

?1?D．y＝?? ?2?

|x|

1?|x|1?解析：选B.y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝??在(0，＋∞)

x?2?上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．

2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析：选A.易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为2?1＋x?奇函数，又f(x)＝ln ＝ln?－1＋?，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函

1－x?1－x?数，故选A.

??log2（1－x）（x<0），

3．设函数f(x)＝?若f(x)是奇函数，则g(3)的值是( )

?g（x）＋1（x>0），?

A．1 C．－3

B．3 D．－1

?log2（1－x）（x<0），?

解析：选C.因为函数f(x)＝?f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，所以

?g（x）＋1（x>0），?

log2(1＋3)＝－[g(3)＋1]，则g(3)＝－3.故选C.

4．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )

A．－9 C．－3

B．9 D．0

解析：选B.因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(0.5)＝f(8.5)＝9.故选B.

5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－3)

B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，

所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1， 所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.

6．(2019·四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是 ( )

A．a>b>c C．b>c>a

B．c>a>b D．a>c>b

解析：选D.因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2.

所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)． 因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，所以a>c>b，故选D. 7．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________． 解析：因为 f(x)为偶函数， 所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，

所以－xln(－x＋a＋x)－xln(x＋a＋x)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.

答案：1

8．(2019·山西太原联考)已知f(x)是奇函数，且x∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝－x＋2x，若x∈(－∞，0)，则f(x)＝________．

解析：由题意知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－(－x)＋2×(－x)＝－x－2x＝－f(x)，所以f(x)＝x＋2x.

答案：x＋2x

22

2

2

2

2

2

2

?1?9．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

的x的取值范围是________．

?1?解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，所以f(|2x－1|)

112

调递增，所以|2x－1|<，解得

333

?12?答案：?，?

?33?

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－则f(2 017)＝________．

解析：由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)

1πx，当1

＝－11

＝－＝f(x)，

f（x＋3）1

－

f（x）

故函数f(x)的周期为6.

所以f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)． 因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)， 而f(－1＋3)＝－

1

，

f（－1）

1

＝－f（2）

1

＝2. 2πcos

3

所以f(1)＝f(－1)＝－所以f(2 017)＝2. 答案：2

－x＋2x，x＞0，??

11．已知函数f(x)＝?0，x＝0，是奇函数．

??x2＋mx，x＜0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

??a－2＞－1，

结合f(x)的图象知?

?a－2≤1，?

2

2

2

2

2

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)

＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)， 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))， 即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

?1?设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×?×2×1?＝4. ?2?

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，

f(x)＝x(x－1)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )

9??A.?－∞，?

4??

5??C.?－∞，? 2??

7??B.?－∞，?

3??8??D.?－∞，? 3??

89

11

解析：选B.当－1

22≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2

2

2

?1（x＋1）x，－1

?2

f(x)＝?x（x－1），0

2

…

8782

≤3时，令2(x－2)·(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标9337?87?注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是?－∞，?，

3?93?故选B.