2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题15 函数与导数(1)(解析版)

专题15 函数与导数（1）

函数与导数小题：10年30考，平均每年3个，可见其重要性！主要考查基本初等函数的图象和性质，包括定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数与导数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？ 1．（2019年）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ） A．a＜b＜c 【答案】B

【解析】a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选B．

2．（2019年）函数f（x）＝

B．a＜c＜b

C．c＜a＜b

D．b＜c＜a

sinx?x在[﹣π，π]的图象大致为（ ）

cosx?x2A． B．

C．【答案】D 【解析】∵f（x）＝

D．

sinx?x?sinx?xsinx?x，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）222cosx?xcosx?xcosx?xsin????为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（?）＝??0，因此排除B，C；故选D． 22cos????1??3．（2019年）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 ． 【答案】y＝3x

【解析】∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为y＝3x．

4．（2018年）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y＝﹣2x

B．y＝﹣x

C．y＝2x

D．y＝x

【答案】D

【解析】函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故选D．

?2?x,x?05．（2018年）设函数f（x）＝?，则满足f（x+1）?f（2x）的x的取值范围是（ ）

?1,x?0A．（﹣∞，﹣1] 【答案】D

B．（0，+∞）

C．（﹣1，0）

D．（﹣∞，0）

?2?x,x?0【解析】函数f（x）＝?，的图象如图，满足f（x+1）＜f（2x），可得2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，

1,x?0?解得x∈（﹣∞，0）．故选D．

6．（2018年）已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝ ． 【答案】﹣7

【解析】函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7． 7．（2017年）函数y＝

sin2x的部分图象大致为（ ）

1?cosxA． B．

C．【答案】C

D．

3sin2x??【解析】函数y＝是奇函数，排除选项B；当x＝时，f（）＝2＝3，排除A；x＝π时，

11?cosx331?2f（π）＝0，排除D．故选C．

8．（2017年）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（ ）

A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减

C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称 【答案】C

【解析】∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选C． 9．（2017年）曲线y＝x2+【答案】x﹣y+1＝0 【解析】曲线y＝x2+＝0．

10．（2016年）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ） A．logac＜logbc C．ac＜bc 【答案】B

【解析】∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴logca＜logcb，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞logac＞logbc，故A错误；ac＞bc，故C错误；ca＜cb，故D错误；故选B．

11．（2016年）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

B．logca＜logcb D．ca＞cb

1在点（1，2）处的切线方程为 ． x11，可得y′＝2x﹣2，切线的斜率为k＝2﹣1＝1．切线方程为y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1xxA． B．

C．【答案】D

D．

【解析】∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|x|＝2x2﹣e|x|，故函数f（x）为偶函数， 当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣ex，∴f′（x）＝4x﹣ex＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选D． 12．（2016年）若函数f（x）＝x﹣A．[﹣1，1] 【答案】C

【解析】函数f（x）＝x﹣

﹣

1sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ） 31111B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

333312sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，33254即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0

33355时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]上递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，

tt155可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）上递增，可得t＝﹣1时，取得

3tt111最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．故选C．

333x?1??2?2,x?113．（2015年）已知函数f（x）＝?，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（ ）

?logx?1,x?1??2??A．﹣

7 4B．﹣

5 4C．﹣

3 4D．﹣

1 4【答案】A

【解析】由题意，a≤1时，2a?1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴a＝7，∴f（6﹣a）＝