安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题平面（含解析）

安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 平面（含

解析）

例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3

分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：

答案：D．

说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．

典型例题二

例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．

分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面?，另两条确定平面?，再证平面?，?重合．

已知：a//b//c，l?a?A，l?b?B，l?c?C． 求证：直线a，b，c，l共面． 证明： ∵ a//b，

∴ a，b确定一个平面?． ∵ l?a?A，l?b?B， ∴ A??，B??，故l??．

又 ∵ a//c， ∴ a，c确定一个平面?． 同理可证l??．

∴ ????a，且????l．

∵ 过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故?与?重合

即直线a，b，c，l共面．

说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明c??时，也可以用如下反证法证明：

假设直线c??，则c一定与?相交，此时直线c与a内的所有直线都不会平行，这显然

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与a//c矛盾．故c??．

典型例题三

例3 已知?ABC在平面?外，它的三边所在的直线分别交平面?于P，Q，R三点，证明P，Q，R三点在同一条直线上．

分析：如图所示，欲证P，Q，R三点共线，只须证P，

Q，R在平面?和平面?ABC的交线上，由P，Q，R都是

两平面的公共点而得证．

证明：∵ AB???P，BC???Q， ∴ PQ是平面?与平面ABC的交线． 又 ∵ AC???R， ∴ R??且R?平面ABC， ∴ R?PQ，

∴ P，Q，R三点共线．

说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．

典型例题四

例4 如图所示，?ABC与?A1B1C1不在同一个平面内，如果三直线AA1、BB1、CC1两两相交，证明：三直线AA1、BB1、CC1交于一点． 分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．

证明：由推论2，可设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面?，?，?．

取AA1?BB1?P，则P?AA1，P?BB1． 又因????CC1，则P?CC1（公理2）， 于是AA1?BB1?CC1?P， 故三直线AA1、BB1、CC1共点．

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说明：空间中证三线共点有如下两种方法：

（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．

（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．

典型例题五

（1）不共面的四点可以确定几个平面？

（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？ 分析：（1）可利用公里3判定。 （2）可利用公里3的推论3判定。 （3）需进行分类讨论判定。 解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。

（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面。 （3）共点的三条直线可以确定1个或3个平面。

说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。

平面的确定问题

主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。

典型例题六

例6 A、B、C为空间三点，经过这三点：

A．能确定一个平面 B．能确定无数个平面

C．能确定一个或无数个平面 D．能确定一个平面或不能确定平面

分析：本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理3及三个推论． 解：由于题设中所给的三点A、B、C并没有指明这三点之间的位置关系， 所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．

当A、B、C三点共线时，经过这三点就不能确定平面，

当A、B、C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选D．

说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面．

典型例题七

例7 判断题（答案正确的在括号内打“√”号，不正确的在括号内打“×”号）．

(1)两条直线确定一个平面；（ ）

(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（ ） (3)两两相交的三条直线不共面；（ ） (4)不共面的四点中，任何三点不共线．（ ）

分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论．两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直线不能确定平面；

(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一定能确定平面； (3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；

(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面．

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解：(1)× (2)× (3)× (4)√．

说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面．那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？

典型例题八

例8 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，试画出过点D1、E、F三点的截面．

分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线．

解：连D1F并延长D1F与DC的延长线交于点H，连结D1E与DA的延长线交于点G，连结GH与AB、BC两条棱交于点B，连结BE、BF，则BED1F就是过点D1、E、F三点的截面．

说明：本题亦可以证明点B、E、D1、F四点共面．若E、F不是棱A1A与C1C的中点，则作图过程中GH不一定过点B，所画的截面多边形可能是五边形．

典型例题九

例9 判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)平行四边形是一个平面．

(2)任何一个平面图形都是一个平面．

(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．

解：(1)不正确．平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的． 说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面． (2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的．

说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念．

(3)不正确．在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线（无论是题中原有的，还是后引的辅助线）．

说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然．有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养．

典型例题十

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