2020届高考数学(理)二轮复习专题6解析几何第3讲解析几何的综合问题练习(含答案)

A卷

x2y2y2x2

1．(2018年北京海淀区校级三模)若双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)与C2：2－2＝1的离心率分别

abab为e1和e2，则下列说法正确的是( )

A．e1＝e2 11

B．2＋2＝1

2

2

e1e2

C．C1与C2的渐近线相同 D．C1与C2的图象有8个公共点 【答案】A

a2＋b2a2＋b222

【解析】由题意，e1＝＞1，e2＝＞1，显然e1＝e2.故选A．

aa2．(2019年河南焦作模拟)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)＋y＝1和(x－4)

259＋y＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )

A．9,12 C．8,12 【答案】C

【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10.连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12.故选C．

B．8,11 D．10,12

2

x2y2

222

x2y2

3．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右

ab?ππ?焦点，若AF⊥FB，设∠ABF＝θ且θ∈?，?，则双曲线离心率的取值范围是( ) ?124?

A．(2，2] C．(2，＋∞) 【答案】C

【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB|＝|FF′|＝2c.则|AF|＝2csin θ，|BF|＝2ccos θ.∵|AF′|－|AF|＝2a.∴2ccos θ－2csin θB．(1，2] D．(2，＋∞)

＝2a，即c(cos θ－sin θ)＝a，则e＝＝

c1

＝

acos θ－sin θ1

π??2cos?θ＋?4??

1

.∵θ∈?

?π，π?，∴θ＋π

?4?124?

122

∈?

π??1?π??2??π，π?，??则cos?θ＋?∈?0，?，2cos?θ＋?∈?0，?，则?4??2?4???32???2?

π??2cos?θ＋?4??

＞＝2，即e＞2，

故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选C．

4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )

1

A． 23C． 4【答案】D

【解析】根据已知条件，得－＝－2，所以p＝4.从而抛物线的方程为y＝8x，其焦点为F(2,0)．设

2切点B(x0，y0)，由题意，在第一象限内y＝8x?y＝22x.由导数的几何意义可知切线的斜率为kAB＝

2

2

1

B． 34D． 3

p2

y′|x＝x0 ＝2

x0

，而切线的斜率也可以为kAB＝

.又因为切点B(x0，y0)在曲线上，所以y0＝8x0.

x0－?－2?

y0－3

2

??x0＝8，

由上述条件解得?

?y0＝8，?

8－04

即B(8,8)．从而直线BF的斜率为＝.故选D．

8－23

2

2

2

2

2

2

5．(2018年黑龙江绥化检测)已知圆C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圆C2：x＋y－2by＋b－1＝0只有11

一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则2＋2的最小值为( )

abA．2 C．8 【答案】D

B．4 D．9

【解析】圆C1的标准方程为(x＋2a)＋y＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2

222

＋(y－b)＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.∵圆C1和圆C2只有一条公切线，∴圆C1与圆C2相内切，∴

b4a?11?22

?－2a－0?＋?0－b?＝2－1，得4a＋b＝1.∴2＋2＝?2＋2?(4a＋b)＝5＋2＋2≥5＋2

ab?ab?ab222

2

11

22

b24a2·＝9，a2b2

b24a212111222

当且仅当2＝2，且4a＋b＝1，即a＝，b＝时等号成立．∴2＋2的最小值为9.

ab63ab

x2y2

6．(2018年浙江绍兴检测)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”

ab四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．

【答案】?

?5?

，＋∞? ?2?

x2y2b【解析】双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组

aba??

?b??y>－axby

所确

2bb1

定．又点(2,1)在“右”区域内，∴1<，即>.∴双曲线的离心率e＝

aa2

2

2

1＋??∈?a??b?2?5

，＋∞?.

???2?

7．已知实数x，y满足方程(x－a＋1)＋(y－1)＝1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶12

函数y＝f(x)，则抛物线y＝－x的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为________．

2

【答案】

13 2

【解析】由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1.由此知点(a，b)的轨迹是一线1?12?段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]，又抛物线y＝－x，故其焦点坐标为?0，－?，由此可以判断出焦2?2?点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值是

13?1?22

?1－0?＋?1＋?＝.

2?2?

x2y2

8．(2018年湖北襄阳模拟)已知直线l：3x＋y＋m＝0与双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)右支交于

abM，N两点，点M在第一象限，若点Q满足OM＋OQ＝0(其中O为坐标原点)，且∠MNQ＝30°，则双曲线C的

渐近线方程为________．

【答案】y＝±x

【解析】由题意可知M，Q关于原点对称，设M(m，n)，N(u，v)，则Q(－m，－n)，代入双曲线方程，

→

→

m2n2u2v2m2－u2n2－v2n－vn＋vn2－v2b2得2－2＝1，2－2＝1，两式相减，得2＝2，∴kMN·kQN＝·＝＝.∵kMN＝－3，abababm－um＋um2－u2a2

3bkQN＝tan 150°＝－，∴2＝1，即a＝b.∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

3a→

9．(2019年重庆期末)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且AB与n＝(2，－1)共线．

2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，当k变化时，原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

【解析】(1)因为2c＝2，所以c＝1. →→

又AB＝(－a，b)，且AB∥n，

所以2b＝a，所以2b＝b＋1，所以b＝1，a＝2. 所以椭圆E的标准方程为＋y＝1.

2

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把y＝kx＋m代入＋y＝1，

2消去y，得(2k＋1)x＋4kmx＋2m－2＝0. 4km2m－2

所以x1＋x2＝－2，x1x2＝2，

2k＋12k＋1

2

2

2

2

2

2

2

2

x2

2

x2

2

Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*)

因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部， →→

所以OP·OQ<0，即x1x2＋y1y2<0.

m2－2k2

又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋mk(x1＋x2)＋m＝2，

2k＋1

2

2

2m－2m－2k2222由2＋2<0，得m

22依题意且满足(*)得m<，

3

222

故实数m的取值范围是?－

??66?，?. 33?

10．(2018年安徽蚌埠二模)在平面直角坐标系xOy中，动圆M过定点F(1,0)，且与直线x＝－1相切，曲线C为圆心M的轨迹．

(1)求曲线C的方程；

(2)过(2,0)的直线l与C有两个不同的交点A，B，已知点Q(－2,0)，QA，QB与y轴分别交于M(0，

m)，N(0，n)两点，求证：m＋n为定值．

【解析】(1)由题意知圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线， ∴圆心M的轨迹方程为y＝4x.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝ty＋2， 与曲线C：y＝4x联立，化简得y－4ty－8＝0. ∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－8. 直线QA：y＝同理可得n＝2y1

(x＋2)，令x＝0，得m＝. x1＋2ty1＋4

2

2

2

y1

2y2

. ty2＋4