计算方法第一次作业参考答案

补充题：

已知x*=36.43598，问x1=36.43666,x2=36.43647,x3=36.43628各有几位有效数字？解：|x1?x|?|36.43666?36.43598|? 0.00068?0.5?10 故该值有4位有效数字 同理可求 x2,x3各有5位有效数字。1.5 古代数学家祖冲之曾以

?

?2-4

355113作为圆周率的近似值，问其有多少位有效数字？

-7解：|x?x|?|355/113?3.1415936|? 3.2035?10 ?0.5?101-7?0.5?10-6

故该值有七位有效数字2.1、试构造收敛的迭代公式求解下列方程

(1) x?cosx?sinx4 (2)x?4?2x

解：(1)记?(x)?cosx?sinx4, 取x?[0,1],有0??(x)?1,|?1 x?[0,1] ， |??(x)|?| 则迭代公式x 取x0?0.5k+1?cosx?sinx4??(x)对于任意的x?[0,1]均收敛于方程的根k0

x?0.3392,x?0.3188,x?0.3392,x?0.3157,x?0.3151,x?0.3151123456 x??0.3151(2)记?(x)?log(4-x), 取x?[1,2],有1??(x)?2,2 x?[1,2] ， |??(x)|?| 则迭代公式x 取x0?1.5k+14?xln2|?1??(x)对于任意的x?[1,2]均收敛于方程的根k0 x?1.3219,x?1.4212,x?1.3667,x?1.3969,x?1.3802,x?1.3894,x?1.38441234567 x??1.38

2.2 方程x?x?1?0,在x?1.5附近有根，把方程写出三种 不同的形式： （1）x?1?3321x2,对应迭代公式xk+1?1?21xk2 ；1 （2）x?1?x,对应迭代公式xk+1?(1?xk)3； （3）x?22

1x?1,对应迭代公式xk+1?1xk?1 ； 判断以上三种迭代公式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x0?1.5 附近的根到4位有效数字。解：记f(x)?x?x?1,f(1.4)f(1.5)?0,判定根在（1.4，1.5）之间 （1）记?（x）=1?1x232,取x?[1.4,1.55] 1.41，可知迭代公式在x, 当x?[1.4,1.6]，?（0?1.5 处不会收敛。2

2.5 用Newton法f(x)?x?2x?4x?7?0在[3,4]中的根的近视值（精确到小数点后两位）解：xk+1?xk?f(xk)f?(xk)?2xk?2xk?73xk?4xk?423232, 取x0?3.5 ， x?3.64,x?3.6320,x?3.6320

123 则x?3.63?

12.7 用Newton迭代法于方程x?a?0，导出立方根a3的迭代公式，并讨论其收敛性。

3解： xk+1?xk??x）= ?（23+f(xk)f?(xk)?2a3x13?3xk?a3xk23,记?（x）=2x?a3x23??x）=,?（2ax4

?a3）?0,?（??x）?0,则迭代过程是平方收敛的； 当a?0, ?（1?a3）?则迭代过程是一阶收敛的。 当a?0, ?（