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特殊三角形的定义、性质及判定 三角形类型 定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角 性质 1、 等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴 2、 等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角 3、 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一 1、 等边三角形的内角都相等，且为60° 2、 等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴 3、 等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴 判定 1、（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形 2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边 1、 三条边都相等的三角形是等边三角形 2、 三个内角都等于60°的三角形是等边三角形 3、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1、 有一个角是直角的三角形是直角三角形 2、 有两个角互余的三角形是直角三角形 3、 如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理） 等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形 等边三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△” 直角三角形 1、 直角三角形的两锐角互余 2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、 直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4、 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）

等腰三角形

1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质：

①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；

②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴. （3）等边三角形的判定

①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论

①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半.

②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.

两个重要结论的数学解释：

已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.

直角三角形

1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。 难点：

1在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

B图3CA勾股定理及逆定理 一、勾股定理及其证明

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）

?a2?b2?c2

证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.

babaccccbaba

二、勾股定理的应用： （1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n的线段. 三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2?b2?c2那么这个三角形是直角三角形. 1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成； 2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

1．先找出最大边（如c）；

2．计算c2与a2?b2，并验证是否相等.

若c2?a2?b2，则△ABC是直角三角形.

若c2?a2?b2，则△ABC不是直角三角形.

注意：（1）△ABC中，若a2?b2?c2，则∠C=90°；而b2?c2?a2时，则∠A=

90°；a2?c2?b2时，则∠B=90°.

（2）若a2?b2?c2，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形. 若a2?b2?c2，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.

三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.