高中数学必修4三角函数常考题型：正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像

【知识梳理】

1．正切函数的性质

函数 定义域 函数 值域 周期 奇偶性 单调性 2．正切函数的图像 (1)正切函数的图像：

y＝tan x π????xx≠kπ＋，k∈Z? 2???y＝tan x (－∞，＋∞) T＝π 奇函数 ππkπ－，kπ＋?(k∈Z)上都是增函数 在每个开区间?22??

(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：

π

正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

2

【常考题型】

题型一、正切函数的定义域、值域问题

【例1】 求下列函数的定义域和值域： π

x＋?；(2)y＝(1)y＝tan??4?3－tan x.

ππ

[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，

42π

x≠kπ＋，k∈Z，

4

ππ

x＋?的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)． 所以函数y＝tan??4?4(2)由3－tan x≥0得，tan x≤3.

ππ

－，?上， 结合y＝tan x的图像可知，在??22?ππ

满足tan x≤3的角x应满足－

23所以函数y＝3－tan x的定义域为

ππ???

?xkπ－

23???【类题通法】

求正切函数定义域的方法及求值域的注意点

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函π

数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解

2形如tan x>a的不等式的步骤：

【对点训练】 求函数y＝

1

的定义域．

1＋tan x

解：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0， ππ

∴tan x≠－1，∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z.

42因此，函数y＝

1

的定义域为

1＋tan x

ππ???

?xx≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z?.

42???

题型二、正切函数的单调性及应用

1π?【例2】 (1)求函数y＝tan??2x－4?的单调区间； 13π12π

－?与tan?－?的大小． (2)比较tan??4??5?π1ππ

[解] (1)由kπ－

2242π3π

2kπ－

22

1π?π3π

x－的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)． 所以函数y＝tan?22??24??

13π3π3ππ?－12π?＝－tan?2π＋2π?＝－tan2π，－?＝tan?－4π＋?＝tan＝－tan，(2)由于tan?tan 4?5??4???5??445π2ππ

又0<<<，

452

π

0，?上单调递增， 而y＝tan x在??2?π2ππ2π

所以tan－tan，

454513π12π－?>tan?－?. 即tan??4??5?【类题通法】

1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，ππ

令kπ－<ωx＋φ

22

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】

1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．

解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． ππ

又因为<2<π，所以－<2－π<0.

22ππ

因为<3<π，所以－<3－π<0.

22ππ显然－<2－π<3－π<1<，

22ππ

－，?内是增函数， 又y＝tan x在??22?所以tan(2－π)

π

－2x?的单调区间． 2．求函数y＝3tan??4?ππ－2x?＝－3tan?2x－?， 解：y＝3tan?4??4??πππ

由－＋kπ<2x－<＋kπ得，

242πk3πk

－＋π

π

－2x?的单调递减区间为 所以y＝3tan??4?

?－π＋kπ，3π＋kπ?(k∈Z)． 82??82

题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题

π

2x＋?的周期； 【例3】 (1)求f(x)＝tan?3??(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． ππ

2x＋＋π?＝tan?2x＋?， [解] (1)∵tan?3?3???πππx＋?＋?＝tan?2x＋?， 即tan?2?3????2?3?ππ2x＋?的周期是. ∴f(x)＝tan?3??2

??π

x≠kπ＋，k∈Z?，关于原点对称， (2)定义域为?x?2???

∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴它是奇函数． 【类题通法】

与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略

π

(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．

|ω|(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．

【对点训练】

关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：