专题08 相似形-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)

专题08 相似形

高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，

AB?2,BC?3，另作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'，不难发现

A'B'AB2??. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，l1//l2//l3，有

ABDEABDE.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，=?ACDFBCEF我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

典型考题

【典型例题】

已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

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（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD； （2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝ °时，AB∥CD； （3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD； （4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．

【答案】（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD；（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD. 【解析】 （1）∵∠1＝∠2 ∴AB∥EF

∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60° ∵EG平分∠AEC ∴∠AEG＝∠CEG＝60° ∴∠CEF＝75° ∵∠ECN＝75° ∴∠FEC＝∠ECN ∴EF∥CD且AB∥EF ∴AB∥CD （2）∵∠1＝∠2 ∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140° ∴∠AEF＝40° ∵∠FEG＝30° ∴∠AEG＝70°

2

∵EG平分∠AEC ∴∠GEC＝∠AEG＝70° ∴∠FEC＝100° ∵AB∥CD，AB∥EF ∴EF∥CD

∴∠NCE+∠FEC＝180° ∴∠NCE＝80°

∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD （3）∵∠1＝∠2 ∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180° ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG ∵EG平分∠AEC ∴∠GEC＝∠AEG

∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG ∵AB∥CD，AB∥EF ∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180° ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE

∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD （4）∠1＝∠2 ∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180° ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE ∵EG平分∠AEC ∴∠GEC＝∠AEG

3

+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180° ∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°∵AB∥CD，AB∥EF ∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

+∠NCE＝180° ∴∠MAE+2∠FEG﹣180° ∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°

∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD

【变式训练】

已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC， 求证：FE平分∠BED.

【答案】详见解析 【解析】

∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4， ∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE， ∴∠2＝∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4，

∴EF是∠BED的平分线

【能力提升】

如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．

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