[孟]北交网络课程讲解 特征值

如果能选择这样的p，使成立，则用同一初始向量

用幂法求A-pI及A的特征值,收敛速度要快得多. 因此对满足上述条件的p,可先求A-pI的按模最大特征值出A模最大特征值

及特征向量

及特征向量

,从而得

（4）从理论上讲，幂法可以采取降阶的方法求出矩阵A的全部特征值。当求出和对应的特征向量特征向量

后，按同样的思想可以依次求出。在幂法中，求出矩阵A的主特征值

以及相应的及对应的特征向量

从而把

后，可用压缩方法求出n-1阶矩阵B使它的特征值为,求A次特征值

的问题转化为求B的主特征值，等等。

为了作出所述的B,寻求非奇阵p，使由A与

---------------------①

有相同的特征值可知，上式中的B即为所求的矩阵，式①等价于：

其中

即

而此式取 时即成立，故当

时式①就成立了

当时，取确有：

HOUSEHOLDER阵，使

当

取H=I上式也成立，

综合上述分析得：

它不仅满足要求，且由H的正交性知，这种压缩方法有较好的稳定性。 原则上，这种压缩方法可以类似地进行下去，但实际上会引入较大的误差，因此不宜多次使用。

（2）反幂法：

基本思路： 设值为

没有零特征值，则

非奇异，即

的逆阵

存在，设的特征。因为

其对应的特征向量为

所以

故就是矩阵的特征值，它们满足

对应的特征向量仍为

。

因此，求矩阵的按模最小特征值

，这只需应用幂法即可求得。 注意点：

，就相当于求其逆阵的按模最大特征值

(1)由于求方程组

非常费时。故在用迭代向量由求时，可采用解

的办法。由于每次结方程组的系数矩阵都相同，故计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别当n较大时，将大大地节省计算量。

(2)在反幂法中也可以用平移原点法来加速收敛 若

存在，显然其特征值为

对应得特征向量

现取,且设

与其他的特征值是分离的,即

对

满足

应用反幂法,构造向量序列

(1) (当

)

(2) 或

(当

)

(当

)

且收敛速度由比值三．幂法小结：

确定

幂法适用范围 为求矩阵的按模最大特征值及相应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖与矩阵特征值的分布情况

反幂法的适用范围是求矩阵A的按模最小特征值及对应的特征向量。