[孟]北交网络课程讲解 特征值

步骤： 1. 2. 计算

1. 2. 3.

3 if 4

then

, go to 2

stop

为说明上述算法的正确性，我们试证明下述定理

定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列值

对应的特征向量,而向量序列,即

收敛于矩阵A按模最大的特征

收敛于

的绝对值最大的分量

与

证 一般

故

又

故

现在举一例说明幂法的使用方法： 1．用幂法求矩阵

按模最大特征值

和对应的特征向量

迭代7次的结果列于

解 取初始向量下表 k

，计算出和

0 1 1 1 1 274 95 -184

2 44.43277 14.84322 -29.64262 3 44.92333 14.97623 -29.95048

1 1 1

1 0.34672 -0.67153 1 0.33413 -0.66727 1 0.33337 -0.66670

4 44.99572 14.99865 -29.99722 5 44.99959 14.99988 -29.99974 6 44.99953 14.99983 -29.99968 7 44.99953 14.99983 -29.99968

1 0.33334 -0.66667 1 0.33333 -0.66667 1 0.33333 -0.66667 1 0.33333 -0.66667

由上可见经过7次迭代,的值已稳定到小数后5位，故所求和对应的特征向量可取作：

的按模最大特征值

本题矩阵的三个特征值和对应的特征向量不难求出为

与

将

规范化即得

。

幂法的几点解释：

是r重根时，上述两定理仍成立。

（1）若矩阵证： 由

的按模最大特征值

可得

（2）定理一的证明中，所取初始向量可能得不到按模的最大特征值。

的这个假定是不可少的，否则就

（3）幂法的收敛速度，虽然与初始向量的选取有关，但主要取决于比值的

大小，当时，幂法收敛很慢，甚至失去使用价值，若越小，则收敛

速度越快，平移原点法就是基于上述基本思想来加快收敛速度的。 具体说明：若则有：

-p为矩阵A-pI的特征值(其中p为一数值)

是矩阵A的特征值,其相应特征向量为

即A

=

事实上：(A-pI)=(-p)

如果满足: 而且还满足: