北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题（学生版） Word

26．（昌平区2013届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列a1,a2,a3,?,a100，其中等于i的项有ki个

(i?1,2,3?)，设bj?k1?k2???kj(j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?100m(m?1,2,3?).

（Ⅰ）设数列k1?40,k2?30,k3?20,k4?10,k5?...?k100?0，求g(1),g(2),g(3),g(4)； （Ⅱ）若a1,a2,a3,?,a100中最大的项为50， 比较g(m),g(m?1)的大小； （Ⅲ）若a1?a2???a100?200，求函数g(m)的最小值．

27．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数

x1,x2,?,xn(n?2)满足|xi|?1(i?1,2,?3,n,,记)S(x1,x2,?,xn)?231?i?j?n?xixj.

(Ⅰ)求S(?1,1,?)及S(1,1,?1,?1)的值; (Ⅱ)当n?3时,求S(x1,x2,x3)的最小值; (Ⅲ)求S(x1,x2,?,xn)的最小值. 注:

28．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)）已知A(

1?i?j?n?xixj表示x1,x2,?,xn中任意两个数xi,xj(1?i?j?n)的乘积之和.

,),B(,.

)是函

数的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线x?(1)求

+

的值及

+

的值 (2)已知

,当

1上,且2时,

+

++,求;

(3)在(2)的条件下,设求和

的值.

=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,

29．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)

设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1

(Ⅱ) 数表A如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a的所有可能值;

(Ⅲ)对由m?n个实数组成的m行n列的任意一个数表A,能否经过有限次

1 2 1 3 0 ?7 1 ?2 aa2?1?a?a22?a1?a2a?2a2“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

30．（2013北京房山二模数学理科试题）设m?3,对于项数为m的有穷数列

?an?,令bk为a1,a2,?,ak(k?m)中

的最大值,称数列?bn?为?an?的“创新数列”.例如数列3,

的创新数列为3,5,5,7.考查自然数

1,2,?,m(m?3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列?cn?.

(Ⅰ)若m?5,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列?cn?;

(Ⅱ)是否存在数列?cn?的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列?cn?,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列?cn?的个数;若不存在,请说明理由.

31．（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组(x1,x2,x3,?,xn)满足条件：

①

?xi?1ni?0； ②?xi?1.

i?1n(Ⅰ) 当n?2时，求x1，x2的值； （Ⅱ）当n?3时，求证：3x1?2x2?x3?1； （Ⅲ）设a1?a2?a3???an,且a1?an(n?2)，求证：

32．（东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设a1，a2，?a20是首项为1，公比为2的等比数列，

20?an?k，当1?n?20?k时对于满足0?k?19的整数k，数列b1，b2，?b20 由? 确定。记M??anbn

，当20-k?n?20时an?1?n?k?20?axi?1nii1?(a1?an). 2(Ⅰ)当k?1时，求M的值； (Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值

33．（2013西城二模）已知集合Sn?{(x1,x2,?,xn)|x1,x2,?,xn是正整数1,2,3,?,n的一个排列}(n?2),函数

?1,x?0,对于(a1,a2,…an)?Sn，定义: g(x)????1,x?0.b1?0,称bi为ai的满意指数.排列b1,b2,?,bn为排列a1,a2,?,an的生成列;排列a1,a2,…an为

排列b1,b2,?,bn的母列.

(Ⅰ)当n?6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,?1,2,?3,4,3的母列;

?,a2?,?,an?为Sn中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅱ)证明:若a1,a2,?,an和a1(Ⅲ)对于Sn中的排列a1,a2,?,an,定义变换?:将排列a1,a2,?,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换?将排列a1,a2,?,an变换为各项满意指数均为非负数的排列.

34．（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列{an},a1?1,a2n?an,a4n?1?0,a4n?1?1(n?N*).

(Ⅰ)求a4,a7; (Ⅱ)是否存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an; (Ⅲ)设S?

35．（2013北京高考数学（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项

aaa1a2?2?33???nn??,问S是否为有理数,说明理由. 10101010之后各项an?1,an?2,的最小值记为Bn，dn?An?Bn

(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,?,是一个周期为4的数列（即对任意n?N，，写出d1,d2,d3,d4的值； an?4?an）(2) 设d是非负整数，证明：dn??d（n?1,2,3）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； (3) 证明：若a1?2，dn?1（n?1,2,3），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1

?n?2)且xi36．（石景山区2013届高三一模数学理）给定有限单调递增数列{xn} (n?N，??0(1?i?n),定义

*集合A?xi,xj1?i,j?n,且i,j?N.若对任意点A1?A,存在点A2?A,使得OA1?OA2(O为坐标原

????点),则称数列{xn}具有性质P.

(I)判断数列{xn}:?2,2和数列{yn}:?2,?1,1,3是否具有性质P,简述理由.

(II)若数列{xn}具有性质P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi?xj?0；

②若x1??1,xn?0且xn?1,则x2?1.

(Ⅲ)若数列{xn}只有2013项且具有性质P,x1??1,x3?2,求{xn}的所有项和S2013.