北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题（学生版） Word

17．（2013丰台二模数学理科）已知等差数列?an?的通项公式为an?3n?2,等比数列?bn?中,b1?a1,b4?a3?1.

记集合A?xx?an,n?N*, B?xx?bn,n?N*,U?A?B,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn?.

(Ⅰ)求数列?bn?的通项公式,并写出数列

?????cn?的前4项;

(Ⅱ)把集合CUA中的元素从小到大依次排列构成数列?dn?,求数列?dn?的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

18．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设??cn?的前n项和S.

n?(x1,x2,?,x10)是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意

一个全排列,定义S(?)??|2xk?110k?3xk?1|,其中x11?x1.

(Ⅰ)若??(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1),求S(?)的值;

(Ⅱ)求S(?)的最大值; (Ⅲ)求使S(?)达到最大值的所有排列?的个数.

19．（顺义13届高三第一次统练理科）已知数列?an?的前n项和为Sn,且点?n,Sn?在函数y?2x?1?2的图像上.

(I)求数列?an?的通项公式;

(II)设数列?bn?满足:b1?0,bn?1?bn?an?n?N*?,求数列?bn?的前n项和公式;

(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的n?N*不等式bn??bn?1恒成立,求实数?的取值范围

20．（丰台区2013届高三上学期期末理 ）已知曲线C:y2?2x(y?0)，A1(x1,y1),A2(x2,y2),???,An(xn,yn),???是曲线

C上的点，且满足0?x1?x2?????xn????，一列点Bi(ai,0)(i?1,2,???)在x轴上，且?Bi?1AiBi(B0是坐标原点）是以Ai为直角顶点的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求A1、B1的坐标； （Ⅱ）求数列{yn}的通项公式；

1（Ⅲ）令bi?,ci?ai??22?yi，是否存在正整数N，当n≥N时，都有

?b??c，若存在，求出N的最

iii?1i?1nn小值并证明；若不存在，说明理由．

21．（海淀区2013届高三上学期期末理科）已知函数f(x)的定义域为(0,??)，若y?f(x)在(0,??)上为增函数，x则称f(x)为“一阶比增函数”；若y?f(x)在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”.我们把2x所有“一阶比增函数”组成的集合记为?1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为?2. (Ⅰ)已知函数f(x)?x?2hx?hx，若f(x)??1,且f(x)??2，求实数h的取值范围； (Ⅱ)已知0?a?b?c，f(x)??1且f(x)的部分函数值由下表给出，

32x f(x) 求证：d(2d?t?4)?0；

a d b d c a?b?c 4 t (Ⅲ)定义集合??f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k,请问：是否存在

??常数M，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.

22．（石景山区2013届高三上学期期末理）定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，

则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y?f(x)使得bn?f(an)仍为一个“三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的“保三角形函数”(n?N*)．

（Ⅰ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)?kx(k?1)是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列{cn}的首项为2013，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1?3Sn?8052，证明{cn}是“三角形”数列；

（Ⅲ）若g(x)?lgx是（Ⅱ）中数列{cn}的“保三角形函数”，问数列{cn}最多有多少项?

(解题中可用以下数据 :lg2?0.301,lg3?0.477,lg2013?3.304)

23．（朝阳区2013届高三上学期期中考试（理））给定一个n项的实数列a1,a2,?,an(n?N?),任意选取一个实数c,

变换T(c)将数列a1,a2,?,an变换为数列|a1?c|,|a2?c|,?,|an?c|,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c可以不相同,第k(k?N)次变换记为Tk(ck),其中ck为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后,数列中的各项均为0,则称T1(c1),

?T2(c2),,Tk(ck)为 “k次归零变换”.

(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “k次归零变换”,其中k?4; (Ⅱ)证明:对任意n项数列,都存在“n次归零变换”;

(Ⅲ)对于数列1,2,3,?,n,是否存在“n?1次归零变换”?请说明理由.

23n24．（2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,???,an为n（n=2,3,4,?,）阶“期待数列”：

① a1?a2?a3???an?0；② a1?a2?a3???an?1. （Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2k+1(k?N*)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为Sk(k?1,2,3,?,n)，

n试证：（1）Sk?1； （2）?ai?1?1.

222ni?1i

25．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)

*设数列{an}对任意n?N都有(kn?b)(a1?an)?p?2(a1?a2??an)(其中k、b、p是常数) .

(I)当k?0,b?3,p??4时,求a1?a2?a3???an;

(II)当k?1,b?0,p?0时,若a3?3,a9?15,求数列{an}的通项公式;

(III)若数列?an?中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当

k?1,b?0,p?0时,设Sn是数列?an?的前n项和,a2?a1?2,试问:是否存在这样的“封闭数列”

?an?,使得对任意n?N*,都有Sn?0,且

a1的所有取值;若不存在,说明理由.

1111111???????.若存在,求数列?an?的首项12S1S2S3Sn18