高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 函数与导数 突破点18 导数的应用(酌情自选)专题限时集训 理

专题限时集训(十八) 导数的应用

[A组 高考达标]

一、选择题

1．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4

2

3

B．－2 D．2

D [由题意得f′(x)＝3x－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，

f′(x)>0；当－2

函数，在(2，＋∞)上为增函数．

∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]

2．(2016·枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则( )

A．ef(2 015)＞f(2 016) B．ef(2 015)＜f(2 016) C．ef(2 015)＝f(2 016)

D．ef(2 015)与f(2 016)大小不能确定 A [令g(x)＝

fxe

xef，则g′(x)＝xx－exfxe

2x＝

fx－fxe

x，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 015)＞g(2

016)，即

fe

2 015

＞fe

2 016

，所以ef(2 015)＞f(2 016)，故选A.]

xe?2?3．(2016·安庆模拟)已知函数f(x)＝2－k?＋ln x?，若x＝2是函数f(x)的唯一一

x?x?

个极值点，则实数k的取值范围为( ) 【导学号：67722068】

A．(－∞，e] C．(－∞，e)

B．[0，e] D．[0，e)

x2ex－2xex?21?

A [f′(x)＝－k?－2＋?＝x4?xx?x－

则g′(x)＝x2

xx－

x2

?e－k??x???

xe

(x＞0)．设g(x)＝，

xx，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．

xe

∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e, 结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满

x足题意，只需k≤e，选A.]

4．(2016·邯郸一模)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝

3

2

x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )

A．3 C．5

2

B．4 D．6

2

A [f′(x)＝3x＋2ax＋b，原题等价于方程3x＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1＜x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1或f(x)＝x2.∵f(x1)＝x1，

2

∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．故选A.]

5．(2016·合肥二模)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)＜2恒成立，则使xf(x)－f(1)＜x－1成立的实数x的取值范围为( ) 【导学号：67722069】

A．{x|x≠±1} C．(－1,1)

2

2

2

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)

2

B [设g(x)＝x[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋xf′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)＜2，即2f(x)＋xf′(x)－2＜0，所以当x＞0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]＜0，函数g(x)＝x[f(x)－1]单调递减；当x＜0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]＞0，函数g(x)＝x[f(x)－1]单调递增，则不等式xf(x)－f(1)＜x－1?xf(x)－x＜f(1)－1?g(x)＜g(1)?|x|＞1，解得x＜－1或x＞1，故选B.]

二、填空题

6．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

2

2

2

2

2

2

2

y＝－2x－1 [因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)

1

＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即

xy＝－2x－1.]

7．(2016·长沙一模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意的实数x，有f(x)＞f′(x)，且y＝f(x)－1是奇函数，则不等式f(x)＜e的解集为________．

x

(0，＋∞) [由题意令g(x)＝则g′(x)＝＝

fxe

x，

xfxx－fx2xe

fx－fxe

x. 因为f(x)＞f′(x)，所以g′(x)＜0， 即g(x)在R上是单调递减函数，

因为y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，即f(0)＝1，g(0)＝1， 则不等式f(x)＜e等价为即g(x)＜g(0)，

解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．]

8．(2016·郑州一模)已知函数f(x)＝x－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围为________．

3

xfxe

x＜1＝g(0)，

a＜ [f(x)＝x3－3ax(a∈R)，则f′(x)＝3x2－3a，

若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线， 则直线的斜率为－1，f′(x)＝3x－3a与直线x＋y＋m＝0没有交点， 又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率， 则当x＝0时取最小值，－3a＞－1， 1

则a的取值范围为a＜.]

3

三、解答题

9．(2016·潍坊二模)已知函数f(x)＝＋bln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x.

(1)求函数f(x)的单调区间及极值；

(2)若?x≥1，f(x)≤kx恒成立，求k的取值范围． [解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

2

13

axbx－af′(x)＝2，2分

x故f′(1)＝b－a＝1，

又f(1)＝a，点(1，a)在直线y＝x上，

∴a＝1，则b＝2.

12x－1

∴f(x)＝＋2ln x且f′(x)＝2，

xx11

当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，

22

f′(x)＞0，

?1??1?故函数f(x)的单调增区间为?，＋∞?，单调减区间为?0，?，

?2??2?

f(x)极小值＝f??＝2－2ln 2，无极大值.6分

2

(2)由题意知，k≥

?1???

fx2ln x1

＝＋2(x≥1)恒成立， xxx2ln x1

令g(x)＝＋2(x≥1)，

xx2－2ln x2则g′(x)＝－3＝2xxx－xln x－

x3(x≥1)，8分

令h(x)＝x－xln x－1(x≥1)， 则h′(x)＝－ln x(x≥1)，

当x≥1时，h′(x)≤0，h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 故h(x)≤h(1)＝0，故g′(x)≤0， ∴g(x)在[1，＋∞)上为减函数，

故g(x)的最大值为g(1)＝1，∴k≥1.12分

10．(2016·北京高考)设函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围； (3)求证：a－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．

[解] (1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋c，得f′(x)＝3x＋2ax＋b.因为f(0)＝c，f′(0)＝b，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.2分 (2)当a＝b＝4时，f(x)＝x＋4x＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x＋8x＋4.

22

令f′(x)＝0，得3x＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.

3

2

3

2

3

2

2

2

3

2

f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：

x (－∞， －2) －2 ?－2，－2? ?3???2－ 3?－2，＋∞? ?3???