江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷（解析版）

【分析】由已知函数f（x）满足的三个条件求出f（1），f（），f（），进而求出f（），f（）的函数值，又由函数f（x）为非减函数，求出f（）的值，即可得到答案． 【解答】解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x）， 令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1， 令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=． 又∵

，

∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=， 又由f（x）在[0，1]上为非减函数， 故f（）=， ∴f（）+f（）=． 故答案为：．

【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．

14．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是 （7，+∞） ．

【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法． 【专题】压轴题．

【分析】函数f（x）=x2﹣ax+a+3的图象恒过定点（1，4），g（x）=ax﹣2a的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．

【解答】解：由f（x）=x2﹣ax+a+3知f（0）=a+3，f（1）=4， 又存在x0∈R，使得f（x0）＜0，

知△=a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6， 另g（x）=ax﹣2a中恒过（2，0）， 故由函数的图象知：

①若a=0时，f（x）=x2﹣ax+a+3=x2+3恒大于0，显然不成立． ②若a＞0时，g（x0）＜0?x0＜2

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③若a＜0时，g（x0）＜0?x0＞2

此时函数f（x）=x2﹣ax+a+3图象的对称轴x=故函数在区间（，+∞）上为增函数 又∵f（1）=4， ∴f（x0）＜0不成立． 故答案为：（7，+∞）．

，

【点评】充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．

二、解答题：

15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为y=f（x+

）为偶函数．

，函数

（1）求f（x）的解析式； （2）若α为锐角，f（

+

）=，求sin2α的值．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；二倍角的正弦． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由题意可得，函数的周期为为偶函数，求得φ=

=π，求得ω=2．再根据函数y=f（x+

=sin）（2x+π+φ）

，可得f（x）的解析式．

）和sin（α+

）﹣

）的值，利用二倍角公式求得sin（2α+

）和cos（2α+

）

（2）由条件求得cos（α+

的值，再根据sin2α=sin[（2α+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．

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【解答】解：（1）由题意可得，函数的周期为再根据函数y=f（x+即 φ=kπ﹣

=π，求得ω=2．

，k∈z， ）=cos2x．

）=sin（2x+π+φ）为偶函数，可得π+φ=kπ+

，∴f（x）=sin（2x+

，k∈z，结合0＜φ＜π，可得φ=

+

）=cos（α+）cos（α+]=sin（2α+

．

（2）∵α为锐角，f（∴sin（2α+

）=，∴sin（α+）=）cos

，cos（2α+﹣cos（2α+

）=． ）=2）sin

﹣1=﹣

，

）=2sin（α+

）﹣）×

=

∴sin2α=sin[（2α+=

﹣（﹣

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，属于中档题

16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；

（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．

．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明． 【解答】证明：（1）在在△A1BC中，BC=1，A1C=1，又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，

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，∴A1C=1，

，∴

，∴∠A1CB=90°，∴BC⊥A1C，

∴BC⊥平面ACC1A1， ∵BC?平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面ACC1A1．

（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，

则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1， ∵OD?平面A1DC，BC1?平面A1DC， ∴BC1∥平面A1DC．

【点评】熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键．

17．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形C，D，F的外接圆．①“T型”部分的面积不得小于800cm2；相接而成，圆面部分的圆周是A，要求如下：②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

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