【2020年数学高考】福建省福州市2020届高三上学期期末考试 数学(理).doc

理综押题【绝密】

因为h?0??1,h?1??e，

故当x??0,1?时，h?x??h?0??1 所以x?1?lnx??1?x?x3ex,x??0,1?， 即f?x?ex?x2?1?1,x??0,1?. x??解法二：（1）同解法一. （2）若a?0且x??0,1?， 1?1，

ex1?lnx12只需证?x??1， xex欲证

f?x?x?x2?即证x?1?lnx??1?x?x3ex.

设函数g?x??x?1?lnx??x??0,1??，则g??x???lnx. 当x??0,1?时，g??x??0 .故函数g?x?在?0,1?上单调递增.

??g(x)?g?1??1. 所以 设函数h?x??1?x?x3ex,x??0,1?，

因为x??0,1?，所以x?x3，所以1?x?x3?1， 又1?ex?e，所以h?x??1， 所以g(x)?1?h?x?， 即原不等式成立.

??解法三：（1）同解法一. （2）若a?0且x??0,1?， 1?1，

exx1?lnx12只需证?x??1，

exx欲证

f?x??x2?·13·

理综押题【绝密】

由于1?lnx?0,ex?e0?1，则只需证明1?lnx?x2?1?1， x11只需证明lnx?x2? 0?，令g?x??lnx?x2? ?x??0,1??，

xx11x?1?2x3x?1则g??x???2x?2??2?0，

xxx2x则函数g?x?在?0,1?上单调递减，则g?x??g?1??0， 所以lnx?x2?1?0成立， x即原不等式成立.

???22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为?cos?????2，即?cos???sin??2，

4??所以直线l的直角坐标方程为x?y?2； ?x?tcos?,因为?（?参数，t?0）

y?sin??x2所以曲线C的普通方程为2?y2?1，

t?x?y?2,?222x由?x2消去得，1?ty?4y?4?t?0， 2?y?1,?2?t??所以??16?41?t24?t2?0， 解得 0?t?3，

故t的取值范围为0,3.

（2）由（1）知直线l的直角坐标方程为x?y?2?0， 故曲线C上的点?tcos?,sin??到l的距离d?t2?1?22tcos??sin??22??????，

故d的最大值为

由题设得t2?1?22?16?2， 2解得t??2. ·14·

理综押题【绝密】

又因为t?0，所以t?2. 23.解：（1）因为f?x??3?f?x?1?，所以x?1?3?x?2，

?x?1?x?2?3，

?x?1,?1?x?2,?x?2,??或?或?

3?2x?3,1?3,2x?3?3???解得0?x?1或1?x?2或2?x?3， 所以0?x?3，

故不等式f?x??3?f?x?1?的解集为?0,3?.

?3?（2）因为?1,??M，

?2??3?所以当x??1,?时，f?x??f?x?1??x?a恒成立，

?2?而f?x??f?x?1??x?a?x?1?x?x?a?0?x?a?x?x?1， ?3?因为x??1,?，所以x?a?1，即x?1?a?x?1，

?2??3?由题意，知x?1?a?x?1对于x??1,?恒成立，

?2?所以

1?1??a?2，故实数a的取值范围?,2?. 2?2? ·15·