【2020年数学高考】福建省福州市2020届高三上学期期末考试 数学(理).doc

理综押题【绝密】

所以AD???4,0,2?,AE??5,3,?2， 设平面ADE的法向量为n??x,y,z?， ??AD?n?0则?，

AE?n?0?????4x?2z?0所以?，

?5x?3y?2z?0????取x?1，则n?1,33,2，

又因为平面ABD的一个法向量为m??0,1,0?， 所以cosn,m?331?1?33??436， 8????2所以二面角E?AD?B的余弦值为36. 820.解：解法一：（1）依题意得a?2,b?3，所c?a2?b2?1， 所以C的右焦点F坐标为?1,0?， 设C上的任意一点M的坐标为?xM,yM?， xM2yM2则??1，

433222所以MF??xM?1??yM2??xM?1??3?xM2

4?1212xM?2xM?4??xM?4?， 442又因为?2?xM?2，所以1?MF?9， 所以1?MF?3，

所以MF的取值范围为?1,3?.

（2）设P、M、N三点坐标分别为?xP,yP?,?xM,yM?,?xN,yN?，

设直线PM、PN斜率分别为k1、k2，则直线PM方程为y?yP?k1?x?xP?，

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理综押题【绝密】

?x2y2?1,??由方程组?4消去y，得 3?y?y?k?x?x?P1P??3?4k?x212?8k1?k1xP?yP?x?4k12xP2?8k1xPyP?4yP2?12?0，

8k1?k1xP?yP?3?4k21由根与系数关系可得xM?xP?8k1?k1xP?yP?3?4k12，

故xM?4k12xP?8k1yP?3xP?xP?，

3?4k12同理可得xN?xP?3又k1?k2??，

48k2?k2xP?yP?3?4k22，

?3??3?8??xP?yP????8k?kx?y?4k1??4k1??6xP?8k1yP， 故xN?xP?22P2P??24k12?33?4k2?3?3?4????4k1?4k12xP?8k1yP?3xP6xP?8k1yP??xM， 则xN??xP??3?4k124k12?3从而xN?xM?0.

即M、N两点的横坐标之和为常数.

解法二：（1）依题意得a?2,b?3，所c?a2?b2?1， 所以C的右焦点F坐标为?1,0?， 设C上的任意一点M的坐标为?xM,yM?， 设C上的任意一点M的坐标为2cos?,3sin?， 则MF??2cos??1??22??2?3sin??2??cos??2?，

2又因为?1?cos??1，所以1?MF?9，

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理综押题【绝密】

所以1?MF?3，

所以MF的取值范围为?1,3?.

（2）设P、M两点坐标分别为?xP,yP?,?xM,yM?，线段PM、PN的中点分别为E、F，点E的坐标为

?xE,yE?，直线PM、PN、OE的斜率分别为k1、k2、k3，

?xP2yP2??1,?yP2?yM23?43??由方程组?2得， 222x?x4xyPM?M?M?1,?3?4y?yMyP?yM3所以P???，

xP?xMxP?xM4所以

yP?yM2yE3???，

xP?xM2xE43所以k1?k3??，

43又因为k1?k2??，

4所以k2?k3， 所以PN//OE，

所以MN的中点在OE上， 同理可证：MN的中点在OF上， 所以点O为线段MN的中点. 根据椭圆的对称性，

所以M、N两点的横坐标之和为常数.

21.解：解法一：（1）函数f?x?的定义域为?0,???， 12a2x2?ax?1?2ax?1??ax?1?2， f??x????2ax?a??xxx①若a?0时，则f??x??0，f?x?在?0,???上单调递减； ②若a?0时，当x?当x?1时，f??x??0； a1时，f??x??0； a·11·

理综押题【绝密】

当 x?

1

时，f??x??0. a

?1??1?故在?0,?上，f?x?单调递减；在?,???上，f?x?单调递増；

?a??a?1③若a?0时，当x??时，f??x??0；

2a11时，f??x??0；当x??时，f??x??0. 2a2a1???1?故在?0,??上，f?x?单调递减；在??,???上，f?x?单调递増.

2a???2a?当x??（2）若a?0且x??0,1?， 1?1，

ex1?lnx12只需证?x??1，

exx欲证

f?x?x?x2?即证x?1?lnx??1?x?x3ex.

设函数g?x??x?1?lnx??x??0,1??，则g??x???lnx. 当x??0,1?时，g??x??0 .故函数g?x?在?0,1?上单调递增.

??g(x)?g?1??1. 所以 设函数h(x)?1?x?x3ex，则h?(x)?2?x?3x2?x3ex. 设函数p(x)?2?x?3x2?x3，则p??x??1?6x?3x2. 当x??0,1?时，p??0??p??1???8?0， 故存在x0??0,1?，使得p??x0??0，

从而函数p?x?在?0,x0?上单调递增；在?x0,1?上单调递减.

当x??0,x0?时，p?x0??p?0??2，当x??x0,1?时，p?x0??p?1???4?0 故存在x1??0,1?，使得h??x1??0，

即当x??0,x1?时，p?x??0，当x??x1,1?时，p?x??0 从而函数h?x?在?0,x1?上单调递增；在?x1,1?上单调递减.

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