托勒密定理和“手拉手模型”在几何最值问题中的一个应用

托勒密定理和“手拉手模型”在几何最值问题中的一个

应用

1、托勒密定理：如图T1，AB、CD为⊙O两条弦，则AB·CD+AD·BC=AC·BD

【证明】在BD上取点E，使∠BCE=∠ACD，则△BCE∽△ACD，BC∶AC=BE∶AD，即 AD·BC=AC·BE；①

同理，△ECD∽△ABC，CD∶AC=ED∶AB，即 AB·CD=AC·ED；② ①+②得： AB·CD+AD·BC= AC·（BE+ED）=AC·BD。

2、如图T2，△ABC为正三角形，点P为弧AC上任意一点（不与A、C重合），则PB=PA+PC。

【证明】根据托勒密定理，PA·BC+AB·PC=PB·AC，因为△ABC为正三角形，故AB=BC=AC，所以PB=PA+PC。

3、如图T3，在任意△ABC所在的平面上，求一点D，使得DA+DB+DC的值最小。

【解析】如图T3-1，以AC向外为边作等边三角形ACE，作△ACE的外接圆⊙O，连接BE，与⊙O交于点D，点D为所求。

【证明】（1）在图T3-1的情况下，根据上述2的情况，DA+DC=ED，点D到A，B，C三点的距离之和为BE，若在弧AC上任取一点P，连接PA、PB、PC、PE，则PA+PC=PE，PA+PC+PB=PE+PB＞BE，即PA+PC+PB＞DA+DC +DB，故点D到A、B、C的距离之和最小，最小值为BE的长度；

（2）如果以BC为边向外作等边三角形BCF，如图T3-2，则△CBF和△CAE构成了一个“手拉手模型”，根据手拉手模型，△BCE≌△ACF，故 AF=BE。即当以BC为边向外作等边三角形BCF时，点D到A、B、C的距离之和的最小值为AF的长度，与BE的长度相等；

（3）如果以AB为边向外作等边三角形，情况与（2）同理，仍然可得点D到A、B、C的距离之和的最小值为BE的长度。