2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课堂达标7 指数、指数函数 文 新人教版

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当动直线u＝3a＋b经过点A(1,0)，B(3,2)时，u分别取得最小值umin＝3和最大值umax＝11，即3＜u＜11，应选答案D.

[答案] D

3．(2018·日照模拟)已知函数y＝b＋ax＋2x(a，b为常数，且a＞0，a≠1)在区间

2

?－3，0?上有最大值3，最小值5，则a，b的值分别为 ________ . ?2?2??

[解析] 令t＝x＋2x＝(x＋1)－1，

2

2

?3?∵x∈?－，0?，∴t∈[－1,0]．

?2?

①若a＞1，函数f(x)＝a在[－1,0]上为增函数，

t?1??1?t2

∴a∈?，1?，b＋ax＋2x∈?b＋，b＋1?，

aa?

?

?

?

15??b＋＝，依题意得?a2

??b＋1＝3，

解得?

?a＝2，???b＝2.

②若0＜a＜1，函数f(x)在a在[－1,0]上为减函数， 1??1??t2

∴a∈?1，?，则b＋ax＋2x∈?b＋1，b＋?，

t?a??a?

1

b＋＝3，??a依题意得?5

b＋1＝，??2

2

a＝，??3解得?3

b＝??2.

5

??a＝2

综上①②，所求a，b的值为?

??b＝2

2

a＝，??3，或?3

b＝??2.

23

[答案] 2,2或，

32

4．(2018·北京朝阳4月模拟)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是______．

[解析] 令f(x)＝y＝2，

??2则f(x)＝?－x?2?

x|x|

|x|

x≤a，

－2≤x＜

－x

a

(1)当a＝0时，f(x)＝2在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]． (2)当a＞0时，f(x)在[－2,0)上递减，在[0，a]上递增， ①当0＜a≤2时，f(x)max＝f(－2)＝4，值域为[1,4]； ②当a＞2时，f(x)max＝f(a)＝2＞4，值域为[1,2]． 结合(1)(2)，可知[m，n]的长度的最小值为3. [答案] 3 5．已知f(x)＝

(a－a)(a>0，且a≠1)．

a－1

2

aax－x(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围． [解] (1)函数f(x)的定义域为R.又f(－x)＝函数．

(2)当a>1时，a－1>0，y＝a为增函数，y＝a为减函数，从而y＝a－a为增函数．所以f(x)为增函数．

当0

故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增． (3)由(2)知f(x)在R上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f(－1)≤f(x)≤f(1)． 所以f(x)min＝f(－1)＝

22

(a－a)＝－f(x)，所以f(x)为奇

a－1

2

a－xxx－xx－xx－xx－xaa2－1

(a－a)＝

－1

aa2－1

·

1－a2

a＝－1.

6

所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，只需b≤－1. 故b的取值范围是(－∞，－1]．

[C尖子生专练]

已知函数f(x)＝3－

x1|x|. 3

(1)若f(x)＝2，求x的值； (2)判断x＞0时，f(x)的单调性；

?1?t(3)若3f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈?，1?恒成立，求m的取值范围．

?2?

1xxx[解] (1)当x≤0时，f(x)＝3－3＝0，∴f(x)＝2无解．当x＞0时，f(x)＝3－x，

31x令3－x＝2.

3

∴(3)－2·3－1＝0，解得3＝1±2. ∵3＞0，∴3＝1＋2.∴x＝log3(1＋2)．

11xx(2)∵y＝3在(0，＋∞)上单调递增，y＝x在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3－x在33(0，＋∞)上单调递增．

1?1?t(3)∵t∈?，1?，∴f(t)＝3－t＞0.

3?2?

1??t1?tt?2t2t2t∴3f(2t)＋mf(t)≥0化为3?3－2t?＋m?3－t?≥0，即(3－1)(3＋1＋m)≥0，

3??3??∵3－1＞0，∴3＋1＋m≥0，即m≥－3－1.

2t2t2tx2xxxx?1?2t令g(t)＝－3－1，则g(t)在?，1?上递减，

?2?

∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．

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