2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[基础题组练]

1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) 1

A. 2C.2 2

B.3 33 2

D．

解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° 1

＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝. 2

?π?4

2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos?－α?＝，则sin 2α＝( )

?4?5

1

A. 5C.7 25

1B．－

57D．－

25

?π?π???π?4

解析：选C.法一：因为cos?－α?＝，所以sin 2α＝sin?－2?－α??＝cos

?4???4?5?2

7?π???4?2?π

2?－α?＝2cos?－α?－1＝2×??－1＝.故选C.

25?4??4??5?

法二：因为cos?

2442?π－α?＝4，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，?255?4?5

2

327

平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C.

2525

cos θπ

3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝( )

sin θ2A.C.82

942

9

B.22

3

22D．

9

cos θ解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，

sin θcos θ所以＝3cos θ.

sin θπ122

又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，

23312242

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，

339故选C.

?π?1?π?4．(2020·武汉模拟)已知cos?x－?＝，则cos x＋cos?x－?＝( ) 6?43???

A.3

4

B．－

3 43 4

1C. 4

D．±

?π?1

解析：选A.因为cos?x－?＝，

6?4?

13?π?所以cos x＋cos?x－?＝cos x＋cos x＋sin x 3?22?＝3?

131?3??π?cos x＋sin x?＝3cos?x－6?＝3×＝. 44??2?2?

故选A.

11

5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log

23等于( )

A．2 C．4

B．3 D．5

?tan α?5???tan β?

2

11

解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β231151

＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所231212tan α以＝5，所以logtan β?tan α?＝log52＝4.故选C. 5??5?tan β?

5

，则cos 4α＝ ． 2

2

6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝解析：由sin α＋cos α＝

5522

，得sinα＋cosα＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，24

1?271?2

所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin2α＝1－2×??＝. 4?4?8

7

答案： 8

5

7．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cos θ＝－，13π??则sin θ＝ ，tan?θ＋?＝ ． 4??

解析：由题知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cos θ＝

5

＝－，解得x13x2＋36－xπtan θ＋tan

4π?5－612－612?＝，所以sin θ＝＝－，tan θ＝＝，所以tan?θ＋?＝＝4?2131355π?

－1－tan θtan

22417

－. 7

1217

答案：－ － 137

5π?3?8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin?β＋?4?5?＝ ．

解析：依题意可将已知条件变形为

33

sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.

554

又β是第三象限角，因此有cos β＝－，

55π?π???所以sin?β＋?＝－sin?β＋? 4?4???ππ72

＝－sin βcos －cos βsin ＝.

441072

答案：

109．已知tan α＝2. π??(1)求tan?α＋?的值； 4??

sin 2α(2)求2的值．

sinα＋sin αcos α－cos 2α－1π

tan α＋tan

4π?2＋1?解：(1)tan?α＋?＝＝＝－3.

4?π1－2×1?

1－tan αtan

4sin 2α(2)2＝ sinα＋sin αcos α－cos 2α－1