人教a版高一必修4 - 第一章 - 三角函数 - 单元测试 - word版含解析

人教a版高一必修4_第一章_三角函数_单元测试_word版

含解析

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)

1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A．30° B．－30° C．630° D．－630°

解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－30°. 2．半径为π cm，圆心角为60°所对的弧长是( ) ππ2A. cm B. cm 332π2π2C. cm D. cm 33

2

ππ

解析：选B.l＝|α|·r＝×π＝(cm)，故选B.

33

3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) 44A. B．－ 5533C. D．－ 55

解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，

4

∴cos θ＝.

5

4

∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－. 5

cos（π＋α）

4．已知tan α＝2，则的值为( )

π

cos（＋α）

2

1A．－ B．－2

21C. D．2 2

cos（π＋α）－cos α11

解析：选C.＝＝＝.

πtan α2cos（＋α）－sin α

2

ππ

2x－?的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数( ) 5．把函数y＝sin?4??8

A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．是非奇非偶函数

πππππ

2x－?＝sin?2?x－??，向左平移个单位长度后为y＝sin?2?x－＋??＝sin 2x，为解析：选A.y＝sin?4????8????88??8奇函数，故选A.

1π

6．如果cos(π＋A)＝－，那么sin(＋A)＝( )

22

11A．－ B.

22

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C．－

3 2

D.

3 2

1

解析：选B.cos(π＋A)＝－cos A＝－，

2

1π1

则cos A＝，sin(＋A)＝cos A＝. 222

3π

7．函数y＝sin(3x＋)的图象的一条对称轴是( )

4

ππ

A．x＝－ B．x＝－ 124π5π

C．x＝ D．x＝－ 84

3ππ1π

解析：选A.令3x＋π＝＋kπ(k∈Z)，得x＝－＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－. 4212312πππ

8．函数y＝tan(－x)(x∈[－，]且x≠0)的值域为( )

244

A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)

ππππ3ππππ

解析：选B.∵－≤x≤，∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan(－x)的值域为(－

44424222∞，－1]∪[1，＋∞)．

π

9．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是( )

2

A．函数f(x)的最小正周期是2π

π

0，?上是增函数 B．函数f(x)在区间??2?C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数

π

解析：选D.因为y＝sin(x－)＝－cos x，

2

所以T＝2π，A正确；

ππ

0，?上是减函数，y＝－cos x在?0，?上是增函数，B正确；由图象知y＝－cos x关于直y＝cos x在??2??2?线x＝0对称，C正确；y＝－cos x是偶函数，D错误．故选D. π3π

10．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f(－x)是( )

44

π

A．奇函数且图象关于点(，0)对称

2

B．偶函数且图象关于点(π，0)对称

π

C．奇函数且图象关于直线x＝对称

2π

D．偶函数且图象关于点(，0)对称

2

πππ3π

解析：选C.当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－

4424

3π3π3π3π

＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(x－)(A＞0)，所以y＝f(－x)＝Asin(－x－)＝－Asin x，所以函数为奇

4444

π

函数且图象关于直线x＝对称，故选C.

2

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时函数取得最大值． 答案：2kπ＋π(k∈Z)

cos（－585°）

12.的值等于________． sin 495°＋sin（－570°）

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cos（360°＋225°）

解析：原式＝ sin（360°＋135°）－sin（360°＋210°）＝

sin（180°－45°）－sin（180°＋30°）－cos（180°＋45°）

2

2＝＝2－2.

21＋22答案：2－2

11

13．一正弦曲线的一个最高点为(，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点(－，0)，最

44

低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________．

?1－?－1??＝2，求得ω＝π，再利用当x＝1时，πx＋φ＝π，求出φ＝π. 解析：由题知A＝3，由T＝4×

?4?4??424

ππx＋? 答案：y＝3sin?4??

π??π??π?＋x＝f－x恒成立，14．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x都有f?设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g?3??3??3?＝________．

π??π?

解析：∵f??3＋x?＝f?3－x?，

π

∴函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)关于直线x＝对称，

3

π?即f?3. ?3?＝±

π?π

，0对称，即h??＝0. ∴h(x)＝3cos(ωx＋φ)关于??3??3?π??π?＋1＝1. ∴g?＝h?3??3?答案：1

ππ

15．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．

42ππππ

解析：因为ω＞0，f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，所以函数f(x)＝sin(ωx＋)的周期T≥2(π－)

4242＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2.

π

因为＜x＜π，

2

ωππππ所以＋＜ωx＋＜ωπ＋，

24440＜ω≤2，

?ωπππ所以?2＋4≥2，

π3πωπ＋?4≤2，

15

解得≤ω≤.

2415

答案：[，]

24

三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

sin2（π－α）·cos（2π－α）·tan（－π＋α）

16．已知f(α)＝. sin（－π＋α）·tan（－α＋3π）

(1)化简f(α)；

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1ππ

(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值．

842

2sinα·cos α·tan α

解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.

（－sin α）（－tan α）

1

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，

8(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α

13

＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.

84

ππ又∵＜α＜，

42∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0. ∴cos α－sin α＝－

3

. 2

π3x＋?. 17．已知函数f(x)＝2cos?4??

(1)求f(x)的单调递增区间．

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．

π

解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，

4

2kπ5π2kππ

解得－≤x≤－(k∈Z)．

312312

∴f(x)的单调递增区间为

?2kπ－5π，2kπ－π?(k∈Z)． ?312312?π

(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.

42kπ5π

即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.

312

18. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果从水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P第一次到达最高点大约需要多长时间？

π

解：(1) 建立如图所示的直角坐标系．设角φ(－＜φ＜0)是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟

2

5×2ππ

所转过的角为＝，

606

π

则OP在时间t(s)内所转过的角为t.

6

π

由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin(t＋φ)＋2.

6

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1π

当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 26ππ

故所求的函数关系式为z＝4sin(t－)＋2.

66

ππππ

(2)令z＝4sin(t－)＋2＝6，得sin(t－)＝1，

6666

πππ

令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s. 662

π

19．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x＝. 8

(1)求φ.

(2)求函数f(x)的递减区间． (3)画出f(x)在[0，π]上的图象．

πππ

解：(1)因为函数f(x)的一条对称轴是直线x＝，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.

882

3π

因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.

43π

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，

4

π3π3π

＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 2425π9π

即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 88

所以函数f(x)的递减区间为 ?5π＋kπ，9π＋kπ?(k∈Z)．

8?8?

3π

(3)由f(x)＝sin(2x－)列表如下：

4π3π5π7πx 0 π 888822y 0 1 0 －1 － － 22故函数f(x)在[0，π]上的图象如图．

πππ

20．已知函数f(x)＝2cos(－x－)．

244

(1)求函数f(x)的对称轴；

(2)将函数f(x)的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数y＝g(x)＋k在(－2，4)上有两个零点，求实数k的取值范围．

πππ

解：(1)因为f(x)＝2cos(－x－)，

244

ππ

所以f(x)＝2sin(x＋)．

44

πππ

令x＋＝＋kπ，k∈Z. 442

解得x＝1＋4k，k∈Z，

所以函数f(x)的对称轴为x＝1＋4k，k∈Z.

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