福建省泉州市2014届高三3月质检数学理试题 Word版含答案

分13分． 解：（Ⅰ）当a?b?n?3时，f(x)??x3?3x?3，f?(x)??3x2?3. ?1分 解f?(x)?0得?1?x?1；解f?(x)?0得x?1或x??1. ????2分 故f(x)的单调递增区间是(?1,1)，单调递减区间是(??,?1)和(1,??). ????4分 另解：当a?b?n?3时，f(x)??x3?3x?3，f?(x)??3x2?3. ?1分 令f?(x)?0解得x??1或x?1. ???2分 f?(x)的符号变化规律如下表： x (??,?1) ?1 (?1,1) 1 (1,??) f?(x) ? 0 + 0 ? ????3分 故f(x)的单调递增区间是(?1,1)，单调递减区间是(??,?1)和(1,??). ????4分 （Ⅱ）当a?b?1且n?2时，h(x)?sinx?x?x?1，则h?(x)?cosx?2x?1， ??5分 令?(x)?h?(x)，则??(x)??sinx?2，??6分 因为??(x)??sinx?2的函数值恒为正数，所以?(x)在(??,??)上单调递增， 又注意到?(0)?0， 所以，当x?0 时，?(x)?h?(x)?h?(0)?0，h(x)在(0,??) 单调递增； 当x?0 时，?(x)?h?(x)?h?(0)?0，h(x)在(??,0) 单调递减 . ??8分 所以函数h(x)?g(x)?f(x)的最小值h(x)min?h(0)??1. ????9分 另解：当a?b?1且n?2时，h(x)?sinx?x?x?1，则h?(x)?cosx?2x?1， ??5分 令h?(x)?cosx?2x?1?0，得cosx??2x?1. 考察函数y?cosx和y??2x?1的图象，可知： 当x?0 时，函数y?cosx的图象恒在y??2x?1图象的下方，h?(x)?0； 当x?0 时，函数y?cosx的图象恒在y??2x?1图象的上方，h?(x)?0. 所以h(x)在(??,0) 单调递减，在(0,??) 单调递增， ??8分 所以函数h(x)?g(x)?f(x)的最小值h(x)min?h(0)??1. ????9分 （Ⅲ）因为对任意x?[?1,1]，都有f(x)?221111，所以f(0)?,f(1)?,f(?1)?， 22221?1??b?,?22?3?1??a+b?,2?23?1??a+b?,?22?(1)(2) (3)1?1??b?,?22?1?1即????1?a+b?, 亦即 2?21?1???1?a+b?,?22?由（2）+（3）得13?b?22（4），得b?(4)，再由（1）1， 2

将b?1代入（2）（3）得a?0. 2当a?0，b?114时，f(x)??x?. ????10分 22244因为x?[?1,1]，所以0?x?1，0?x?1，?1??x?0，?所以f(x)??x?4111??x4??， 2221符合题意. ????11分 214设F(x)?f(x)?g(x)??x??sinx. 2111?1因为F(?2)??16??sin(?2)?0,F(?1)??1??sin(?1)?sin1??sin??0， 22262111F(0)??sin0?0,F(1)??1??sin1???sin1?0， ??12分 222又因为已知方程f(x)?g(x)有且只有两个实数根x1,x2（不妨设x1?x2）， 所以有?2?x1??1,0?x2?1，故x1?x2?0. ????13分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）（i）连结O'M,O'N， ∵O'O?底面O'，O'M?底面O'，∴O'O?O'M. ?1分 ∵O'M?A'B'，O'O?平面AA'B'B，A'B'?平面AA'B'B，A'B'O'O?O'， ∴O'M?平面AA'B'B. ?2分 类似可证得ON?平面AA'B'B，∴O'M//ON. 又∵O'M?ON， ∴四边形ONO'M为平行四边形， ∴OMO'N. ?3分 又∵OM?平面A'B'N,O'N?平面A'B'N， ∴OM平面A'B'N. ????4分 （ii）由题意，可得AA'?6，底面上的椭圆的长轴长22，短轴长为2. ?5分 如图，以O为原点，OO'所在直线为z轴建立空间直角坐标系O?xyz.AB所在直线为x轴，则有F2(1,0,0),N(0,1,0),A'(?2,0,6),B'(2,0,6)， ∴NA'?(?2,?1,6),NB'?(2,?1,6)， ?6分 ∵z轴?平面ABN， ∴可取平面ABN的一个法向量n1?(0,0,1).

设平面A'B'N的一个法向量为n2?(x,y,z)， 则???n?NA'??2x?y?6z?0,??n?NB'?2x?y?6z?0，化简得???x?0,， ?y?6z?0?? 取z?1，得n2?(0,6,1). ?8分 设平面ABN与平面A'B'N所成锐二面角为?. 则cos??n1?n27. ????9分 ?7|n1|?|n2| （Ⅱ）当点N为下底面上椭圆的短轴端点时， NF1?NF2?2，tan??tan??NN'6?＝?3,????， NF132????2?，tan(???)??3； 3当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时， NF1?2?1，NF2?2?1，tan??NN'6NN'6＝,tan??＝, NF1NF2?12?12tan(???)?tan??tan?43. ??1?tan?tan?543]. 5'直观判断tan(???)的取值范围为[?3,?（说明：直观判断可以不要求说明理由.） ?10分 ∵N'是点N在上底面的投影，∴N'N?上底面O， ∵上下两底面互相平等， ∴N'N?下底面O，即N'N?平面ABN，

∴?N'FN,?N'F2N分别为N'F1,N'F2与下底面所成的角， 1即?N'F1N??,?N'F2N??. ?11分 又∵NF1,NF2?平面ABN， ∴NN'?NF1,NN'?NF2. 设NF1?m,NF2?n， 则m?n?22，且tan??NN'6NN'6＝,tan??＝， NF1mNF2n66?n?6(m?n)?43. ?12分 ∴tan(???)?mmn?6mn?6661??mn∵m?n?22， ∴mn?m(22?m)??(m?2)2?2. 又∵2?1?m?2?1,∴ 1?mn?2. ?13分 434??3. mn?6543从而证得：tan(???)的取值范围为[?3,?]. ????14分 5∴?5?mn?6??4， ?3? 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分7分. 解：（Ⅰ）设A???ab??1??a??1??0??b??1?，则，A??A???????????????， cd0c0?????????1??d??2??11??； ????3分 02??所以A??（Ⅱ）矩阵A的特征多项式为f(?)???10?1?(??1)(??2)，????4 ??2令f(?)?0，得矩阵A的特征值为?1?1,?2?2. ????5 对于特征值?1?1，解相应的线性方程组??0?x?y?0,，即y?0， 0?x?y?0?