五年级上册数学奥数试题第3讲.行程——用比例解行程问题(含答案解析)人教版

［铺垫］ 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当

乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？

［分析］ 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈．所以第

??100?3?300(米)，又知到?二次相遇时，乙一共走了BADAD?60(米)，

D所以圆形场地的半周长为300?60?240(米)，那么，周长为240?2?480米．

A甲B乙 C【例 7】 A、B两地相距13.5千米，甲、乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往

返一次，甲比乙早返回原地，途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D，CD相距３千米，则甲．乙两人的速度比是为多少？

【分析】 方法一：根据题意画图如下

2甲AD31乙CB

?3x?y?3?13.5设甲、乙第一次相遇时分别走的路程为x千米，y千米，依题意列方程组得，?解

?3y?3?x?13.5?x?7.5得?，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比?7.5:6?5:4

y?6?方法二：用甲、乙代表两个人第一次相遇走的路程，可以整体的分析从开始到第二次相遇甲走的路程为：3?甲，乙走的路程为：3?乙，甲乙二人的路程差为：3?(甲?乙)；分开考虑甲一共走的路程为：一个全程?乙?3，乙一共走的路程为：一个全程?甲?3，两个人的路程差为：(一个全程?乙?3)－(一个全程?甲?3)?乙?甲?6.综合列式为：3(甲?乙)?乙?甲?6，得到：甲?乙?1.5，由于，甲?乙?13.5，所以甲?7.5(千米)，乙?6(千米)，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比?7.5:6?5:4．

【例 8】 两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分

别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回(乙车过B点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？

C乙B甲A乙B甲A 【分析】 设右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，

所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点80?90?90(米)．因此相同时间内，甲乙所行路程比为180:90?2:1，所以甲乙二人的速度比为2:1，因此乙每分行驶20?2?10(米)，甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇需要90?(10?20)?3(分)．

［拓展］ 如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对

角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

甲

乙

［分析］ 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条

边(300米)需300?(90?70)?15(分)，此时甲走了90?15?300?4.5(条)边，甲、乙不在同一条

边上，甲看不到乙．甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需

2300?5?90?16分钟，即16分40秒．

3

【例 9】 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向

而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离．

【分析】 先画图如下：

用比例解其他行程问题

26甲A6C6乙B26D

方法一: 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此甲从C走到D之间的路程时，所用时间应为：26?6?20(分)．

同理乙从C走到D之间的路程时，所用时间应为：26?6?32(分)，所以相同路程内甲乙所用时

间比为20:32?5:8，因此甲、乙二人的速度比为8:5，所以甲的速度为50?5?8?80(米/分)，A、B两地的距离为(80?50)?6?780(米)，或(80?50)?26?780(米)

方法二：设甲的速度是x米/分钟

那么有(x?50)?26?(x?50)?6解得x?80

A、 B两地的距离为(80?50)?6?780(米)，或(80?50)?26?780(米)

［拓展］ 甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发．相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走．甲

从Ａ地到达B地． 比乙返回Ｂ地迟0.5小时．已知甲的速度是乙的

3．甲从Ａ地到达地Ｂ共用4了多少小时?

［分析］ 相遇时，甲、乙两人所用时间相同．由题意知，甲乙二人速度比为3:4，所以甲乙二人所行的路

程比为3:4，从相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用时间比为4:3，又知甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0.5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0.5小时．可求出从相遇点到B地甲用了0.5?4?2(小时)，相遇时，甲乙二人所行的路程比为3:4，甲用时

为2?4?3?1.5(小时)甲从Ａ地到达地Ｂ共用2?1.5?3.5(小时)

【例10】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距

离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

【分析】 设原速度是1. 后来速度为(1?20%)?1.2，速度比值：1:(1?20%)?5:6 这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值6:5 这样可以把原来时间看成6份，

后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时．原来时间就是1?6?6小时．

同样道理，车速提高30％，速度比值：1:(1?30%)?10:13 时间比值：13:10

这样节省了3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为所以前后的时间比值为(6?

［巩固］ (第三届走美试题)从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了

13 3131355):. ?5:13．所以总共行驶了全程的?3313?5181，11点71，到6钟就到了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高达上海时恰好11：10．上海、南京两市的路程是 千米．

［分析］ 由题意设原来速度和车速提高了

1后速度比为7:8，则所用时间比为8:7，设原计划用时8份，7提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩短20分钟，是由于车速提高

1，原来计划速度与返回提速后速度比为6:7，则返回提速后这段路程内所用时6间比为7:6，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时240?140?100(分钟)，上海、南京两市的路程是120?100?240?288(千米)

【例11】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相

遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？

【分析】 因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，

设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份

相遇后，甲、乙两人的速度比为?3?(1?20%)?:?2?(1?30%)??18:13，到达B地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是13:18，即乙的路程为2?134?1．乙从相遇后到达18945A还要行3份的路程，还剩下3?1?1(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是

99514?1?9(千米)．A、B两地有这样的3?2?5(份)，因此A、B两地的总路程为：9?5?45(千

9米)

【例12】 (第五届走美决赛试题)小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李

开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是 点 分，小张从甲地出发时是8点 分 秒．

【分析】

甲地骑车人小王8：00小李8：15小张乙地15分15分9：009：009：009：00

由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是3:4，又小张速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小张的速度比为3:4:5，设小王、小李、小张的速度分别为3、4、5.由上图可以看小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为(4?3)?15?15?1，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是8点30分出发的．

小王从甲地到乙地要1小时，可知全程为60?3?180，因此骑车人到乙地要3小时，骑车人在9点时恰好行了全程的一半，由题意小张追上骑车人后速度变为6，从追上骑车人到到达乙地小张比骑车人多行了180?2?90，因此小张以速度6行驶路程所用时间为90?(6?1)?18(分)，所行路程为18?6?108，则追赶骑车人所用时间为(180?108)?5?14.4(分)，因此小张从甲地到乙地共用时间为18?14.4?32.4(分)?32分24秒，即小张从甲地出发时是8点27分36秒

［巩固］ 甲从A出发步行向B．同时，乙、丙两人从B地驾车出发，向A行驶．甲乙两人相遇在离A地3

千米的C地，乙到A地后立即调头，与丙在C地相遇．若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A地7.5千米．求AB两地距离． ［分析］ 设BC间的路程为S，甲的速度为v甲，乙的速度为v乙，丙的速度为v丙，由题意知，

v甲v乙?3， S

v2.5v甲v乙6?S3?（6?S)7.5,则甲?，甲提速后速度变为2.5v甲．则，即??v丙S?Sv丙S?(7.5?3)v丙Sv甲v丙?33?（6?S)3，所以，解得S?18，所以AB两地间路程为18?3?21(千米) ?S?4.5S?SS?4.5

甲、乙两车同时分别从相距55千米的AB两地相向开出，甲行驶了23千米后跟乙相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立刻返回．问：⑴ 第2次相遇点距B地多少千米？⑵第6次相遇点距A地多少千米？

【分析】 通过分析，我们可以发现：一个全程里甲走23千米，

⑴ 第2次相遇共3全程，故甲走了23?3?69(千米)，甲走了一个全程多了一点，故距离B地就是69?55?14(千米)．

⑵第6次相遇总共是11个全程，故甲走了23?11?253(千米)，253?55?4L33，甲走了4个全程多点，多的那部分就是我们要求的距A的距离为：33千米． 1.