五年级上册数学奥数试题第3讲 行程 - 用比例解行程问题（含答案解析）人教版

第3讲

用比例解行程问题

1. 理解行程问题中正比例和反比例关系． 2. 用比例和份数思想解行程问题．

本讲是在秋季所学的火车过桥和流水行船的行程问题基础上，讲解运用比例性质解多次相遇追及行程问题．体会比例解决问题的优势．

距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离?速度?时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题．同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．

也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲?V甲?T甲，S乙?V乙?T乙，有如下关系：

用比例解多次相遇问题

⑴当时间相同即T甲?T乙时，有S甲:S乙?V甲:V乙； ⑵当速度相同即V甲?V乙时，S甲:S乙?T甲:T乙； ⑶当路程相同即S甲?S乙时，V甲:V乙?T乙:T甲．

【例 1】 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20

千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．

2甲ADC1乙B

【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲:S乙?V甲:V乙?30:20?3:2，

设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C是第一次相遇地点，第一次相

遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走3?3?9份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的长度是20?2?(2?3)?50(千米)．(也可以用乙进行计算)

［铺垫］ 甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们

同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？

［分析］ (方法一)10分钟两人共跑了(3?2)?60?10?3000 米 3000?100?30个全程．我们知道两人同

时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1，3，5，7，L，29共15次． (方法二)第一次两个人相遇需要100?(3?2)?20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200?(3?2)?40(秒)所以一个相遇：(10?60?20)?40?1?15.5(次)，即为15次．

［拓展］ 老师可以把【例 1】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，

那么A、B两地相距多少千米？

［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3?2?1?5(个全程)，甲走了：3?5?15(份)在B点，第四次相

遇甲乙共走：4?2?1?7(个全程)，甲走了：3?7?21(份)在D点,已知BD是20千米，所以AB的长度是20?4?(2?3)?25(千米)．

【例 2】 甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时

20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B地后立即返回A地．已知二人第三次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．

2乙甲AEFB1DC

【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲:S乙?V甲:V乙?30:20?3:2，

设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了两个全

程，一个全程甲走3份，2个全程甲共走了3?2?6(份)所以C是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，4个全程甲共走3?4?12份，所以D是第二次相遇地点，由图看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的长度是20?2?(2?3)?50(千米)．(也可以用乙进行计算)

［拓展］ 老师可以把【例 2】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，

那么A、B两地相距多少千米？

［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3?2?6(个全程)，甲走了：3?6?18(份)在第D点，第四次相

遇甲乙共走：4?2?8(个全程)，甲走了：3?8?24(份)在F点,已知DF是20千米，所以AB的长度是20?(2?3)?100(千米)．

［总结］ 设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N

⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题： ⑵ 同一出发点的直线型多次相遇问题

相遇甲乙共走甲共走的乙共走的相遇甲乙共走甲共走乙共走 次数 的路程和 路程 路程 次数 的路程和 的路程 的路程 1 1 M N 1 2 M N 2 3 3M 3N 4 4M 4N 2 3 5 5M 5N 6 6M 6N 3 … … … … … … … … n (2n?1)M (2n?1)N 2n?1 2n 2nM 2nN n

【例 3】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是

3，并且甲、乙两车第2008次相遇的地点和第2009次相遇的地点恰好相距120千米7(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？ 乙车速度的

20082009甲ACD乙B

【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲：S乙?V甲：V乙?3:7，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2008次相遇时，甲

走：(2008?2?1)?3?12045(份)，12045?10?1204L5，所以第2008次相遇地点是在从A地向右数5份的C点，第2009次相遇时甲走：(2009?2?1)?3?12051(份)，12051?10?1205L1，所以第2009次相遇地点在从B点向左数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是120?4?10?300(千米)．

［总结］ 对于份数比较大找相遇地点时，用甲走的总份数除以全程份数，得到商和余数，当商为偶数时，

从甲的出发点向终点数余数的份数即为相遇地点，当商为奇数时，从终点向甲的起点数余数的份数即为相遇地点

［巩固］ 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他

们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A、B两点间的距离为多少米？

101100甲AB乙

［分析］ 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S甲：S乙?V甲：V乙??180:240?3:4，

设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，

甲走：(100?2?1)?3?597(份)，597?7?85L2，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2

份的C点，第101次相遇时甲走：(101?2?1)?3?603(份)，603?7?86L1，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是160?4?7?280(米)．

【例 4】 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们

在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？

【分析】 画示意图如下.

13.52张2王甲乙

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5?3?10.5(千米).

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5?2?8.5(千米). 第六次相遇时，两人已共同走了两村距离2?6?1?11倍的行程.其中张走了3.5?11?38.5(千米)，

38.5?8.5?4L4.5，就知道第六次相遇处，离乙村4.5千米.

［巩固］ 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4

千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

［分析］ 第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4?3?12

千米， 通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12?3?9千米，所以两次相遇点相距9?(3?4)?2千米．

【例 5】 A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300

米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？

【分析】 (300?240)?30?2400?6.75(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度

比是300:240?5:4，设全程为9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A

5地是全程的，第二次相遇时两人共行了３个全程，甲行的距A地9?(3?5?9)?3份，所以第二

91次相遇地点距A地是全程的，第三次相遇时两人共行了5个全程，5?5?9?2L7甲行的距A

37地7份，所以第三次相遇地点距A地是全程的，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是

912400??800(米)

3

【例 6】 A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕

道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同)，假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第二十一次相遇时，甲跑完几圈又几米？

【分析】 甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了

100?3?300米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是300?60?240米，一圈是480米． 第一次相遇时甲跑了240?100?140米，以后每次相遇甲又跑了140?2?280米，所以第二十一次相遇时甲共跑了：140?280?(21?1)?5740(米)，5740?480?11L460．即跑完11圈又460米．