2016.1 朝阳高三期末 数学（理）试卷和答案

①a1?ak；②an?21?2an?1?(n?1,2,3,?,k?1)． anan?1（Ⅰ）若k?3,a1?2，求出这个数列； （Ⅱ）若k?4，求a1的所有取值的集合； （Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．

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北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试

数学答案（理工类） 2016．1

一、选择题：（满分40分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 二、填空题：（满分30分） 题号 答案 9 10 11 12 13 14 1:1:1 4:2:3 π，?1 4 42 12 4 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则

1203C3?C7?C3?C749P(A)??. 3C1060所以选出的3名同学来自班级的概率为

49． ???????????5分 60（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则

312C30?C7C3?C7721； ； P(X?0)??P(X?1)??33C1024C1040130C32?C7C3?C771； ． P(X?2)??P(X?3)??33C1040C10120所以随机变量X的分布列是

X P 随机变量X的数学期望

0 1 2 3 7 2421 407 401 120E(X)?0?721719?1??2??3??． ??????????13分 2440401201016．（本小题满分13分）

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解：（Ⅰ）因为cos?ADB??又因为?CAD?272，所以sin?ADB?． 1010??，所以?C??ADB?．

44???所以sin?C?sin(?ADB?)?sin?ADB?cos?cos?ADB?sin

444?722224????． ?????????7分 102102574?AC?sin?C25ADAC??22． ?（Ⅱ）在?ACD中，由，得AD?sin?ADC72sin?Csin?ADC10所以S?ABD?1172AD?BD?sin?ADB??22?5??7． ????13分 221017．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD． 又因为AB?面PCD，CD?面PCD，所以AB∥面PCD． 又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEF?平面PCD?EF， 所以AB∥EF． ?????????5分 （Ⅱ）取AD中点G，连接PG,GB．

因为PA?PD，所以PG?AD． 又因为平面PAD?平面ABCD， 且平面PAD?平面ABCD?AD，

所以PG?平面ABCD．所以PG?GB． 在菱形ABCD中，因为AB?AD， ?DAB?60?，G是AD中点， 所以AD?GB．

如图，建立空间直角坐标系G?xyz．设PA?PD?AD?2a， 则G(0,0,0),A(a,0,0)，

zPFGAxEDCByB(0,3a,0),C(?2a,3a,0),D(?a,0,0),P(0,0,3a)．

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又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以E(?a,3a3a,)，22????????aa3a3a3a3aF(?,0,)．所以AF?(?,0,)，EF?(,?,0)．

222222?????z?3x,?n?AF?0,??设平面AFE的法向量为n?(x,y,z)，则有????所以??3

x.??y??n?EF?0.3?令x?3，则平面AFE的一个法向量为n?(3,3,33)．

????因为BG?平面PAD，所以GB?(0,3a,0)是平面PAF的一个法向量．

????????n?GB3a13因为cos?， ??????1339?3an?GB 所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为18．（本小题满分14分）

13． ????????13分 131 解：函数f(x)定义域x?(0,??)，f?(x)?a?．

x （Ⅰ）因为f(x)在区间[1,2]上为增函数，所以f?(x)?0在x?[1,2]上恒成立， 即f?(x)?a?11?0，a??在x?[1,2]上恒成立， xx则a??. ?????????????????????4分

（Ⅱ）当a??e时，f(x)??e x?lnx,f?(x)?12?ex?1． x1（ⅰ）令f?(x)?0，得x?．

e11令f?(x)?0,得x?(0,)，所以函数f(x)在(0,)单调递增．

ee11令f?(x)?0,得x?(,??)，所以函数f(x)在(,??)单调递减．

ee111所以，f(x)max?f()??e??ln??2．

eee所以f(x)?2?0成立． ???????????????????9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， f(x)max??2， 所以|f(x)|?2．

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