数学分析21.1二重积分的概念（含习题及参考答案）

为零，则??f(x,y)d?>0.

D证：由题设知存在p0(x0,y0)∈D，使f(p0)>0，令δ=f(p0)，

由连续函数的局部保号性知：?η>0使得对一切p∈D1(D1=U(p0,η)∩D), 有f(p)>. 又f(x,y)≥0且连续，∴??f=??f+

DD1?2D?D1??f≥

?·△D1>0. 2

5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D内任一子区域D’?D上有??f(x,y)d?=0，则在D上f(x,y)≡0.

D?证：假设存在p0(x0,y0)∈D，使得f(p0)≠0, 不妨设f(p0)>0. 由连续函数的保号性知，?η>0使得对一切p∈D’(D’=U(p0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知??f>0，矛盾！ ∴在D上f(x,y)≡0.

D?

6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=??1,(x,y)为D内有理点(即x,y皆为有理数)在D上不可积.

0,(x,y)为D内非有理点?证： 设D的任一分割T={σ1, σ2,…, σn}, 则

每一个小区域σi内必同时含有D内有理点和非有理点，从而 Mi=supf(x,y)=1, mi=inff(x,y)=0, i=1,2,…,n.

(x,y)??(x,y)??ii∴S(T)=?Mi??i=1, s(T)=?mi??i=0，由T的任意性知：

i?1i?1nnlimS(T)=1≠0=lims(T). ∴f在D上不可积.

T?0T?0

7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，g(x,y)在D上可积且不变

号，则存在一点(ξ,η)∈D，使得??f(x,y)g(x,y)d?=f(ξ,η)??g(x,y)d?.

DD证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D，则??g(x,y)d?≥0. 令

DM,m分别为f在D上的最大、最小值，则 m??g(x,y)d?≤??f(x,y)g(x,y)d?≤M??g(x,y)d?.

DDD若??g(x,y)d?=0, 则??f(x,y)g(x,y)d?=0，任取(ξ,η)∈D，得证！

DD若??g(x,y)d?>0, 则m≤

D??f(x,y)g(x,y)d?D??g(x,y)d?DD≤M. 由介值性定理知，

存在一点(ξ,η)∈D，使得f(ξ,η)=

??f(x,y)g(x,y)d???g(x,y)d?D ，即

??f(x,y)g(x,y)d?=f(ξ,η)??g(x,y)d?.

DD

8、应用中值定理估计积分：I=??Dd?的值, 其中

100?cos2x?cos2yD={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=

1 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，

100?cos2x?cos2y?D, 从而

100?cos2??cos2?根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D，使得I=

?D?D100≤I≤, △D为D的面积，∴≤I≤2. 10210051

9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.

证法1：该平面曲线L的长度为l=????2(t)???2(t)dt为有限值.

l?对?ε>0, 将L分成n=???+1段：L1,L2,…,Ln, 在每段Li上取一点Pi,

????使Pi与其一端点的弧长为

l，以Pi为中心作边长为的ε正方形△i， 2nnni?1i?1则Li?△i(i=1,2,…,n), 从而L??△i，记△=?△i，则△为一多边形.

?设△的面积W，则W≤nε2=?∴L的面积WL≤W≤(1+ε)ε. ??1?ε=(1+ε)ε，

???l即此曲线的面积为0.

证法2：在曲线上任取参数t的点M，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ) 使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.

应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.