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19．（13.00分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（2）=0，解方程可得a的值；

（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex的导数为 f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex．

曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0， 可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0， 解得a=；

（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex=（x﹣1）（ax﹣1）ex， 若a=0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减． x=1处f（x）取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值；

若a＞1，则＜1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（x）在x=1处取得极小值；

若0＜a＜1，则＞1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增， 可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则＜1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（1，+∞）．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．

20．（14.00分）已知椭圆M：+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，焦距为2

．斜

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率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；

（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．

【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，即可求得b的值，求得椭圆方程；

（Ⅱ）当k=1时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|AB|的最大值；

（Ⅲ）求得直线PA的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，即可求得线AB的斜率．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2a=

，

，则c=

，椭圆的离心率e==

，则

与

，根据向量的共线定理，即可求得直

b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆的标准方程：

；

（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立

，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）

＞0，整理得：m2＜4， x1+x2=﹣∴|AB|=

，x1x2=

，

=

；

（x+2），

，

∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA=

，直线PA的方程为：y=

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联立

，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12

﹣12x1﹣12）=0， 由

代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，

x1?xC=﹣，xC=﹣，则yC=（﹣+2）=，

则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），

由Q（﹣，），则=（，），=（，

），

由与三点共线，则×=×，

整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB的斜率k=∴k的值为1．

=1，

【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题．

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