2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第四章 第6讲 第2课时 正、余弦定理的综合问题 Word版

π

答案： 23

2

sin A5c

8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin

sin B2bB＝

757，S△ABC＝，则b的值为 ． 44sin A5ca5c5解析：由＝?＝?a＝c，①

sin B2bb2b2

15771

由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②

2442联立①，②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝73且B为锐角知cos B＝， 44

3

由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝14.

4答案：14

3

9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

7(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3

解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7csin A3333

所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.

a72143

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

7

1

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，

2解得b＝8或b＝－5(舍)．

113

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63. 222

10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acos C＝(2b－3c)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C＝2sin Bcos A－3sin Ccos A， 从而3sin(A＋C)＝2sin Bcos A，

即3sin B＝2sin Bcos A.

又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝π

又A为三角形的内角，所以A＝.

6

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×

3

≥2bc－3bc， 2

3， 2

1

所以bc≤4(2＋3)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋3，故△ABC面积的最大值为2＋3.

2

[综合题组练]

1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )

A.5 C.7

B.6 D．22

解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C.

asin A＋bsin B－csin C232．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a

sin Bsin C3＝23.若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．

asin A＋bsin B－csin C23a2＋b2－c23

解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C

sin Bsin C32ab3a2＋b2－c21

＝，即3cos C＝3sin C，所以tan C＝3，故cos C＝，所以c2＝b2－23b＋12

2ab2＝(b－3)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝3时，c取最小值3.

答案：3

3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3

accos B，且sin A＝3sin C. 2

(1)求角B的大小；

(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长． 13

解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，

22所以tan B＝3. π

又0＜B＜π，所以B＝.

3

(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.

由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝27. b2＋c2－a2（27）2＋22－627

所以cos A＝＝＝－.

2bc142×2×27因为D是AC的中点，所以AD＝7.

所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋(7)2－2×2×7×?－

?

7?＝13. 14?所以BD＝13. 4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15. (1)求sin C；

→→(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求DA·DC的最大值．

43解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，

554324

得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

5525

(2)在△ABC中，由

ACAB

＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，sin Bsin C

→→

可知∠ADC＝∠ABC时DA·DC取得最大值，

m2＋n2－524

设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，

2mn58

故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25， 5125

解得mn≤，

2

4125→→4

故DA·DC＝mn≤×＝50，

552510

当且仅当m＝n＝时，等号成立，

2

→→故DA·DC的最大值为50.