2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第四章 第6讲 第2课时 正、余弦定理的综合问题 Word版

第2课时 正、余弦定理的综合问题

与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积

(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝

π

6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 ．

3

(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝3ab，且acsin B＝23sin C，则△ABC的面积为 ．

π

【解析】 (1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

3π1

得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B

321π

＝×43×23×sin ＝63. 23

π

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2

3ππ

＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC

321

的面积S＝×23×6＝63.

2

(2)因为

a2＋b2－c2＝

a2＋b2－c23ab3

3ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C

2ab2ab2

π

＜π，所以C＝.因为acsin B＝23sin C，所以结合正弦定理可得abc＝23c，所以ab＝23.

611π3

故S△ABC＝absin C＝×23sin＝.

2262

【答案】 (1)63 (2)

求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；

(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面

3

2

积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

角度二 已知三角形的面积解三角形

(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，

C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为32，则ab＝ ，a＋b＝ ．

【解析】 因为(3b－a)cos C＝ccos A，所以利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin

1

B．又因为sin B≠0，所以cos C＝，则C为

3

221

锐角，所以sin C＝.由△ABC的面积为32，可得absin C＝32，所以ab＝9.由c是a，

3211

b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以(a＋b)2＝ab＝33，

3所以a＋b＝33.

【答案】 9

已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．

251．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝5，BC＝10，cos A＝，则△ABC

5的面积为( )

5

A. 2C．10

B．5 D．

10 2

33

解析：选A.由AC＝5，BC＝10，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝1－cos2A＝

5155

，故S△ABC＝×5×5×＝.选A. 5252

2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＋C

asin(A＋B)＝csin. 2

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a. A

解：(1)由题设得asin C＝ccos，

2A

由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，

2A

所以sin A＝cos ，

2

AAAA1

所以2sincos＝cos，所以sin＝，

22222所以A＝60°.

1

(2)由题设得bcsin A＝3，从而bc＝4.

2

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12. 13

又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.

4

三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin

＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． A＋C【解】 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.

2因为sin A≠0，所以sinA＋C

＝sin B. 2

A＋C2

A＋CBBBB

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.

22222BB1

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.

222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝

3

a. 4

csin Asin（120°－C）31

由正弦定理得a＝＝＝＋.

sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0°

由(1)知A＋C＝120°，

133

所以30°

282因此，△ABC面积的取值范围是?

求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题

在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．

(一题多解)(2020·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝

(1)求△ABC外接圆的直径； (2)求a＋c的取值范围．

解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C， π

又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.

3

32b

根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.

sin Bπ

sin3π2π2π

(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.

333由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得， abc

＝＝＝1， sin Asin Bsin C所以a＋c＝sin A＋sin C 2π

－A? ＝sin A＋sin??3?＝3?

31?sin A＋cos A 2?2?

3. 2

33?

. ，2??8

π

A＋?. ＝3sin??6?

2πππ5π

因为0＜A＜，所以＜A＋＜.

3666