（优辅资源）河南省信阳市高二下学期期末数学试卷（理科） Word版（含解析）

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f′（x）==，

令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e， ∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减， ∴f（x）极大值=f（e）=，无极小值；

（Ⅱ）∵f（x）在（，+∞）递减，

∴＞，

∴2017ln2016＞2016ln2017， ∴20162017＞20172016．

20．甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为

，乙，丙两都考上的概率为

，且三人能否考上相互独立．

（Ⅰ）求乙、丙两人各自考上的概率；

（Ⅱ）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率． （Ⅱ）由题意X的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，

则P（A）=，且，

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解得P（C）=，P（B）=．

∴乙考上的概率为，丙考上的概率为． （Ⅱ）由题意X的可能取值为1，2， P（X=1）=

+

+

+

+

+

=

，

P（X=2）=∴X的分布列为： X P 1 =，

2 EX=

=．

21．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，设数列{an}的通项公式为an=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2（2n﹣1）]． （Ⅰ）求a1?a2?a3的值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得an=（n﹣2）?2n+a（n∈N*），并说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）计算a1=0，故a1?a2?a3=0；

（2）根据对数性质得出an=1?0+2?1+22?2+23?3+…+2n﹣1?（n﹣1），使用错位相减法求出an，得出a的值．

【解答】解：（I）a1=[log21]=0，a2=[log21]+[log22]+[log23]=0+1+1=2， a3=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log27]=0+1+1+2+2+2+2=10． ∴a1?a2?a3=0．

（II）当2n﹣1≤x≤2n﹣1时，[log2x]=n﹣1．

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∴[log22n﹣1]+[log22n﹣1+1]+[log22n﹣1+2]+…+[log2（2n﹣1）]=（n﹣1）（2n﹣1﹣2n﹣1+1）=2n

﹣1

（n﹣1）．

∴an=1?0+2?1+22?2+23?3+…+2n﹣1?（n﹣1），① ∴2an=22?1+23?2+24?3+…+2n?（n﹣1），②

②﹣①得：an=﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+2n?（n﹣1）﹣2

=﹣

+2n?（n﹣1）﹣2

=2n?（n﹣2）+2． 又an=（n﹣2）?2n+a， ∴a=2．

22．已知函数f（x）=ex+ax+b（a≠0，b≠0）．

（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；

（Ⅱ）若a=﹣b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出导数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，解得a=﹣1，b=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（﹣2）和f（1），比较即可得到最大值；

（Ⅱ）若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a=

，g（x）=，求出导数，求得

单调区间和极值，即可讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex+ax+b，∴f′（x）=ex+a， ∴f′（0）=1+a，

∵函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2， ∴a=﹣1． ∵x=0，f（0）=2，

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∴1+b=2， ∴b=1，

∴f（x）=ex﹣x+1， ∴f′（x）=ex﹣1，

当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减， 当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．

则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2， 又f（﹣2）=e﹣2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1）， 即有f（﹣2）为最大值e﹣2+3；

（Ⅱ）若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a=

，

令g（x）=，则g′（x）=，

当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，

当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，

∴﹣a＜e2，即a＞﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为0； ﹣a=e2，即a=﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为1； ﹣a＞e2，即a＜﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为2．

2016年8月4日

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